概率中的條件概率

【摘要】條件概率在概率論中占有相當重要的地位.文章著重分析了條件概率的概念、特點，條件概率的公式及現實意義以及條件概率在現實生活中的應用.此外，本文除了注重它的科學工具價值外還注重挖掘它的育人功能，從概率統計的育人價值入手提到了概率統計的思維方法，以推動概率與統計課的教學改革，充分發揮它的育人功能.

【關鍵詞】條件概率；現實意義；科學思維

一、引 言

條件概率是在解決各種實際問題的實踐過程中發展起來的，在國民經濟、工農業生產、近代物理、氣象、地震、生物、醫學、金融、保險等很多領域都有大量應用，具有豐富的實際背景.因此，與其他數學內容相比，條件概率課程的學習，更有利于促進學生形成良好的科學品質.主要包括培養學生探索、創新、決策、合作等精神.當條件概率在教學中逐步扮演重要角色的時候，充分認識概率統計課的教育價值，發揮它的育人功能，必能促進學生綜合素質的提高.

正如著名數學家拉普拉斯說的：“雖然它（概率統計）是從考慮某一低級的賭博開始的，但它卻成為人類知識中最重要的領域……生活中最重要的問題，其中絕大多數在實質上只是概率問題.”

二、條件概率概述

1.條件概率的含義

在事件B已經發生的條件下考慮事件A的概率，則這種概率稱為事件A在事件B已經發生條件下的條件概率，記為P（A|B）.

例1 一批同類產品共14件，其中由甲廠提供的6件中有4件優質品，由乙廠提供的8件中有5件優質品.試考察下列事件的概率.

（1）從全部產品中任取的一件是優質品；

（2）從甲廠提供的產品中任抽1件，而被抽的這一件是優質品.

解 設A=“抽到的產品是優質品”，B=“抽到甲廠提供的產品”。

（1）P(A)=914.①

（2）P(A|B）=46.②

如果把事件B已經發生這個前提看作是形成條件概率P(A|B)的附加條件，則相對而言，僅在原有樣本空間Ω上求出的概率P(A)可稱為無條件概率.這樣，給定題設下的P(A)與P(A|B)不僅數值不相等而且意義也是不同的.下面討論它們的關系.

沿用例1的題設、記號以及事件.

AB=“從全部產品中任抽的一件既是甲廠的產品又是優質品”，故P(B)=614，P(AB)=414.

于是P(A|B)=46=414614=P(AB)P(B).③

類似地，從優質品中任抽一件，而該優質品由甲廠提供的概率為

P(B|A)=49=414914=P(AB)P(A).④

上述兩式表達了條件概率與無條件概率的關系，而且可以證明，在古典概型下，只要P(B)>0或P(A)>0，那么表達式③或④總是成立的.

2.條件概率的計算方法

方法一 在問題中根據事件B發生的結果（包含基本事件），縮減樣本空間為B，在B中求事件A發生的概率，即為條件概率P(A|B)，如表達式②.

方法二 利用條件概率公式P(A|B)=P(AB)P(B)，在樣本空間Ω中求概率P(AB)和P(B)，再求條件概率P(A|B)，如表達式③.

三、有關條件概率的三個重要公式

以條件概率為基礎，可得出乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式.

1.乘法公式

一方面，由已知的P(B)和P(AB)去求P(A|B)用表達式③.

另一方面，從已知的P(B)和P(A|B)去求P(AB)，有

P(AB)=P(B)#8226;P(A|B).（3.11）

公式（3.11）叫做乘法公式.

從（3.11）式出發可以導出更一般的乘法公式，即為下面的定理：

若P(A1A2…An-1)>0，

則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1).（3.12）

（3.11）式的重要性在于：有時從條件概率的直觀意義出發比較容易得出P(A|B)的值，然后用公式（3.11）求出比較復雜的事件AB的概率.

2.全概率公式

有一類事件，可以借助另外的事件組分解為若干比較簡單的事件，把這些簡單事件的概率疊加起來，就可以計算該事件的概率，這就是全概率公式.

設A1，A2，…，An為一完備事件組，則對任一事件B，有

P(B)=∑ni=1P(Ai)P(B|Ai).（3.21）

公式（3.21）稱為全概率公式.

全概率公式將事件B分解為BA1，BA2，…，BAn共n個互不相容事件的和，B=BΩ=B(A1+A2+…+An)=BA1+BA2+…+BAn.

如果概率P(Ai)，P(B|Ai)(i=1，2，…，n)易算，則

P(B)=∑ni=1P(BAi)=∑ni=1P(Ai)P(B|Ai).

所以全概率公式的思想方法是化整為零，關鍵是恰當地選取與該事件相關的完備事件組A1，A2，…，An，且概率P(Ai)，P(B|Ai)(i=1，2，…，n)易算.

例2 假設明天的天氣與今天的天氣相同的概率為13，而新年第一天是晴天的概率為14，試求第n天仍是晴天的概率.

解 設Ai=“第i天為晴天”，i=1，2，…求P(An).它是一個與n有關的量，為了計算它，建立P(Ai)與P(Ai-1)間的遞歸關系.顯然Ai-1，Ai-1為完備事件組，由全概公式得

P(Ai)=P(Ai-1)P(Ai|Ai-1)+P(Ai-1)P(Ai|Ai-1)

=13P(Ai-1)+23［1-P(Ai-1)］

=23-13P(Ai-1)(i≥2).

將上式改寫為：P(Ai)-12=-13P(Ai-1)-12(i≥2).

于是∏ni=2P(Ai)-12=∏ni=2-13P(Ai-1）-12，

P(An)=12+-13n-1P(A1)-12 .

根據題意，P(A1)=14，從而

P(An)=12+(-1)n14#8226;3n-1.

3.貝葉斯公式

全概率公式解決的問題是借助完備事件組{Ai}來計算某一事件B的概率，若已知發生了某一事件B，求完備事件組中某個Ai發生的條件概率，可用下述定理表述.

設A1，A2，…，An是一完備事件組，對于任意的事件B，若P(B)>0，則有

P(Aj|B)=P(AjB)P(B)

=P(Aj)P(B|Aj)∑ni=1P(Ai)P(B|Ai)，(j=1，2，…，n).（3.31）

公式（3.31）稱為貝葉斯公式.公式的實際背景是：已知出現了試驗“結果”B，要求推斷哪一種“原因”（Aj）產生“結果”B的可能性大.比較各個P(Aj|B)的大小，若P(Ak|B)是諸P(Aj|B)中最大的，這表明產生“結果”B的最可能“原因”是Ak.

由上面可以看出，全概率公式是“由因導果”，而貝葉斯公式是“由果溯因”，所以全概率公式和貝葉斯公式是相反的兩個過程.

結論：乘法公式是事件求交的概率，全概率公式是求一個復雜事件的概率，而貝葉斯公式是求一個條件概率.

四、條件概率在現實生活中的應用

伊索寓言“孩子與狼”講的是一個小孩每天到山上放羊，山里有狼出沒.第一天，他在山上喊：“狼來了!狼來了!”山下的村民聞聲便去打狼，可到山上，發現狼沒有來.第二天仍是如此.第三天，狼真的來了，可是無論小孩怎么喊叫，也沒有人來救他，因為前兩次他說了謊，人們不再相信他了.

現在用貝葉斯公式來分析此寓言中村民對這個小孩的可信程度是如何下降的.

首先記事件A為“小孩說謊”，記事件B為“小孩可信”.不妨設村民過去對這個小孩的印象為

P(B)=0.8，P(B)=0.2.（4.1）

我們用貝葉斯公式來求P(B|A)，即這個小孩說了一次謊后，村民對他可信度的改變.

貝葉斯公式中概率P(A|B)和P(A|B)的含義是：前者為“可信”(B)的孩子“說謊”(A)的可能性，后者為“不可信”(B)的孩子“說謊”(A)的可能性.在此不妨設P(A|B)=0.1，P(A|B)=0.5.

第一次村民上山打狼，發現狼沒有來，即小孩說了謊(A).村民根據這個信息，對這個小孩的可信程度改變為（用貝葉斯公式）

P(B|A)=P(B)#8226;P(A|B)P(B)#8226;P(A|B)+P(B)#8226;P(A|B)

=0.8×0.10.8×0.1+0.2×0.5=0.444.

這表明村民上了一次當后，對這個小孩的可信度由原來的0.8調整為0.444，也就是（4.1）調整為

P(B)=0.444，P(B)=0.556.（4.2）

在此基礎上，再一次用貝葉斯公式計算P(B|A)，亦即這個小孩第二次說謊后，村民對他的可信程度改變為

P(B|A)=0.444×0.10.444×0.1+0.556×0.5=0.138.

這表明村民們經過兩次上當，對這個小孩的可信程度已經從0.8下降到了0.138.如此低的可信度，村民們聽到第三次呼叫時怎么會再上山打狼呢？

這個例子啟發人們：若某人向銀行貸款，連續兩次未還，銀行還會第三次貸款給他嗎？

繼股票之后，彩票也成了城鄉居民經濟生活中的一個熱點.據統計，全國100個人中就有3個彩民.“以小博大”是不少彩票購買者的共同心態.那么，購買彩票真的能讓我們如愿以償嗎?以36個號碼中選擇7個（36選6+1）的投注方式為例，經計算，中一等獎的概率為千萬分之一點二，全國13億人口每人都去摸獎，中一等獎的一共156人.所以購買者應懷有平常心，既不能把它作為純粹的投資，更不應把它當成發財之路.

大學英語四級考試包括聽力、語法結構、閱讀理解、填空、寫作等.除寫作外，其余85道題是單項選擇題，每道題有A，B，C，D四個選項.不考慮寫作分，及格按60分算，則85道題必須答對51題以上.如果憑碰運氣和僥幸心理，可以看成85重貝努利試驗，過關率為億分之2，所以靠運氣通過考試是不可能的.因此，我們在生活和工作中，無論做什么事都要腳踏實地，對生活中的某些偶然事件要理性地分析、對待.

【參考文獻】

［1］余長安.概率論與數理統計.武漢:武漢大學出版社，2007.

［2］夏寧茂，等.新編概率論與數理統計.上海:華東理工大學出版社，2006.

［3］茆詩松，程依明，濮曉龍.數理統計教程.高等教育出版社，2004.