“明確化方法”解含參問(wèn)題

含有參數(shù)的問(wèn)題廣泛地存在于中學(xué)數(shù)學(xué)的各類(lèi)問(wèn)題中，是常見(jiàn)的一類(lèi)問(wèn)題，也是每年高考重點(diǎn)考查的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.那么對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)如何處理呢？

對(duì)于含有參數(shù)的問(wèn)題的求解，其難以處理的根本原因就在于參數(shù)的引入使問(wèn)題變得模糊起來(lái)了.那么其對(duì)應(yīng)之策當(dāng)然就是想辦法使之再明確化，即采用退化的方法，使問(wèn)題退化到我們最熟悉、最易處理的程度.具體明確化的方法有：一是根據(jù)參數(shù)在允許值范圍內(nèi)的不同取值（或取值范圍），采用“賦值”的方法使參數(shù)明確化，然后去探求明確化以后命題的結(jié)果情形，最后歸納出命題的結(jié)論；另一種方法是根據(jù)給定命題的結(jié)論形式，采用明確其函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法去探求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件.

一、賦值法

通過(guò)給參數(shù)賦予其允許范圍內(nèi)的具體的代數(shù)值，可以快速地實(shí)現(xiàn)代數(shù)式由不明確向明確化的方向轉(zhuǎn)變，在這轉(zhuǎn)變的同時(shí)當(dāng)然也伴隨著相應(yīng)函數(shù)性質(zhì)的明確化.而這一明確化也正是解題所需要的.在這一轉(zhuǎn)變過(guò)程中可以根椐參數(shù)的取值情況對(duì)代數(shù)式性質(zhì)的影響劃分為兩種情形：一種類(lèi)型是對(duì)參數(shù)進(jìn)行多次“賦值”后其結(jié)論都是唯一的；另一種類(lèi)型是對(duì)參數(shù)進(jìn)行多次的“賦值”其結(jié)論是不唯一的，且不同參數(shù)的值具有不同的函數(shù)性質(zhì)，此時(shí)要用“分類(lèi)討論”的方法.即根據(jù)問(wèn)題的條件和所涉及的概念，采用先把問(wèn)題中的參數(shù)具體化，看在這一情形下所研究的函數(shù)是否具有某一固定的性質(zhì)，再探討參數(shù)取其他值時(shí)可能出現(xiàn)的情形，最后再把探求出的各種結(jié)果歸納成命題的結(jié)論，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的.它實(shí)際上是一種化抽象為具體、化陌生為熟悉的解題策略和方法，同時(shí)也為我們對(duì)于這一類(lèi)的探索提供了一種行之有效的方法.這種方法在高考中應(yīng)用是十分廣泛的.

例1 定義在區(qū)間(c，d］，［c，d)，(c，d)，［c，d］的長(zhǎng)度均為d-c，其中d>c.若a，b是實(shí)數(shù)，且a>b，則滿(mǎn)足不等式1x-a+1x-b≥1的x構(gòu)成的區(qū)間長(zhǎng)度之和為.

分析 本題大部分學(xué)生看完以后，都是感到無(wú)從下手.因?yàn)轭}中只有參數(shù)和變量，沒(méi)有一個(gè)具體的數(shù)值，而最后的結(jié)果肯定是一具體的數(shù)值.這時(shí)說(shuō)明本題中的參數(shù)應(yīng)當(dāng)對(duì)最后的結(jié)果是沒(méi)有影響的，這又是一道填空題，那么最好的辦法就是采用“賦值法”.令a=1，b=0，則不等式為1x-1+1x≥1，解得2x-1x(x-1)≥1，∴-x2+3x-1x(x-1)≥0，即x2-3x+1x(x-1)≤0，所以0

再令a=3，b=2，則不等式變?yōu)?x-3+1x-2≥1，同理解得2

評(píng)注 此種方法在處理參數(shù)的問(wèn)題時(shí)還是很好的.一是能為解題打開(kāi)思路，即使對(duì)于題目一點(diǎn)都不懂的同學(xué)也可以使用此法；二是給探究一些含參的較難以處理的問(wèn)題提供了一個(gè)可以借鑒的方法，即可以由通過(guò)賦幾個(gè)特殊值這一特殊情形總結(jié)出這一問(wèn)題的一般規(guī)律，從而使這一類(lèi)問(wèn)題得以解決；三是此法在處理與參數(shù)無(wú)關(guān)的一些全稱(chēng)性命題時(shí)較方便.

如果題目與參數(shù)的變化是相關(guān)聯(lián)的，那么此時(shí)就應(yīng)使用第二種方法“分類(lèi)討論法”.

分類(lèi)討論的思想是一種重要的解題策略，其主要的目的就是使在所分類(lèi)的情形下對(duì)應(yīng)的性質(zhì)是明確的，使所求問(wèn)題是易于解決的，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性以及提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力無(wú)疑具有較大的幫助.若能結(jié)合利用數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)的思想等解題思想方法可簡(jiǎn)化分類(lèi)討論，從而達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題效果.

在使用“分類(lèi)討論”方法來(lái)進(jìn)行明確化的過(guò)程中需要解決好以下幾個(gè)方面：

（一）明確合理的分類(lèi)

在參數(shù)所允許的范圍內(nèi)進(jìn)行賦值.把參數(shù)范圍看成一個(gè)集合A且分成若干個(gè)非空真子集Ai（i=1，2，3，…，n）（n≥2，n∈N），使集合A中的所賦的值(元素)屬于且僅屬于某一個(gè)子集.即①A1∪A2∪A3∪…∪An＝A；②Ai∩Aj＝（i，j∈N，且i≠j）.則稱(chēng)對(duì)集A進(jìn)行了一次科學(xué)的分類(lèi)（或稱(chēng)一次邏輯劃分）.

科學(xué)的分類(lèi)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①保證分類(lèi)不遺漏；②保證分類(lèi)不重復(fù).在此基礎(chǔ)上根據(jù)問(wèn)題的條件和性質(zhì)，應(yīng)盡可能減少分類(lèi).

（二）標(biāo)準(zhǔn)的明確

在確定討論的對(duì)象后，最困難是確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，一般來(lái)講，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的確定通常有三種：

（1）根據(jù)數(shù)學(xué)概念來(lái)確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).

（2）根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理、公式和性質(zhì)確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).

數(shù)學(xué)中的某些公式、定理、性質(zhì)在不同條件下有不同的結(jié)論，在運(yùn)用它們時(shí)，就要分類(lèi)討論，分類(lèi)的依據(jù)是公式中的條件.

（3）根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).

（三）歸納各類(lèi)結(jié)論

歸納這一步是對(duì)以上討論的一種總述，無(wú)疑是很重要的一個(gè)環(huán)節(jié).但很多同學(xué)卻常常給忽略掉，因此在平時(shí)學(xué)習(xí)中應(yīng)予以重視.

二、參數(shù)顯化法

對(duì)于含有參數(shù)的式子，可以通過(guò)參數(shù)在式子中的作用，來(lái)合理地轉(zhuǎn)換其在式子中所承擔(dān)的角色，以達(dá)到“消參”或明確式子關(guān)系的目的.（1）如果參數(shù)在式子中不作為自變量，這時(shí)可以像處理“隱函數(shù)”的方法一樣反解出參數(shù)，即把參數(shù)作為因變量.這樣，不僅解決了含參的問(wèn)題，而且使式子的關(guān)系更明確、更顯化，也更易求參數(shù)的范圍.（2）如果參數(shù)在式子中就是作為自變量的角色出現(xiàn)的，這時(shí)可以仍把其看作自變量，構(gòu)造出一新的函數(shù)，從而參與問(wèn)題的求解.

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=x|x-a|+b，設(shè)常數(shù)b<22-3，且對(duì)任意x∈［0，1］，f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 由題意可知本題是屬于第二類(lèi)問(wèn)題，命題結(jié)論給定“對(duì)任意x∈［0，1］，f(x)<0恒成立”，來(lái)求參數(shù)a的取值范圍，故可以把參數(shù)a分離出來(lái)，把x仍作為自變量來(lái)處理.

解 （1）當(dāng)x=0時(shí)，b<0恒成立；

（2）當(dāng)x∈(0，1］時(shí)，原式可化為|x-a|<-bx，即x+bx

即ax+bxmax.