教師與學生互動說題

隨著教育改革的不斷深入，人們意識到：教師素質的高低影響著學生素質的培養，決定了教育改革的成敗.問題是數學的心臟，解題能力是數學教師和學生素質的重要組成部分，因此，如何提高數學教師和學生的解題能力顯得尤為重要.筆者認為教師與學生互動說題是提高解題能力的有效途徑.

一、說題的含義及其與解題的區別

波利亞在《數學的發現》中認為，數學解題“就是在原先是隔開的事物或想法之間去找出聯系……”數學解題就是單純地解決數學的問題，解題注重的是題目的求解過程，展示的重點是題目求解的結論.

說題則是把審題、分析、解答和回顧的思維過程按一定規律一定順序說出來，要求說題者暴露面對題目的思維過程，即“說數學思維”.這需要對問題的“來源背景、延伸拓展、怎樣解題”和“為什么這樣解題”等進行闡述，并且對題目的拓展和一題多解或一題多變等進行說明.說題注重的是數學問題求解的前奏和后續.

二、說題教學應該遵循的原則

為了使說題起到更好的作用，按照現代教學觀和方法論應該遵循如下幾條原則：

1.計劃性原則

說題教學要有目的、有計劃，教師要作好充分的準備才能有效地調控課堂.說題的內容要切合學生實際，不能故弄玄虛，要能反映學生的真實情況，所選的題目處于盡可能多的學生的最近發展區內.

2.層次性原則

說題的主要目的是教師和學生通過說題的方式對題目進行研討，從而提高解題能力.訓練的題目要由易到難，由淺到深，層層遞進.說題教學切忌急于求成，急則弄巧成拙，應由低級階段向高級階段逐步發展、完善，既不忽視基礎，也不回避難題.

3.學生主體性原則

“教為主導，學為主體”的原則.一切的原則都是為了落實學生的主體地位，讓學生掌握自己獲取知識的本領，讓學生自己交流、評論，自己解決問題.讓學生真實地反映自己是怎樣做的，為什么這樣做，從而教師和學生一起思考，相互切磋，達成共識，進而完善解題.

三、以實例來介紹說題的基本環節

例 已知關于x的方程x2+12-2mx+m2-1=0(m是與x無關的實數）的兩個實根在區間［0，2］內，求m的取值范圍.

1.說題目及背景

解決問題前先得引導學生理解問題，了解問題大致所處的知識范疇.本題是一個含參數的一元二次方程的根的分布問題，已知方程的根的分布狀況，求參數的取值范圍.主要考究的是方程根的分布與函數零點之間的關系，往往借助圖像來解決.利用化歸思想將方程問題轉化為函數的問題是本題的關鍵.我們也知道，方程、不等式與函數是密切相關的，方程的實數根就是函數的零點.

2.說題目的解決

由于本題的條件與求解目標并不復雜，馬上就有學生提出解題方法，此時教師要做的就是幫助學生前瞻自己的思路的可行性、優越性，教師能為學生所做的最好的事情是通過不顯眼的幫助引導學生獲得一個好的思路.

學生一：由求根公式得以下不等式組，求解即可：

0≤2m-12-Δ2≤2m-12+Δ2≤2，其中Δ=12-2m2-4(m2-1)≥0.

師：你的思路非常簡潔.但是不等式中出現根號，這樣的不等式，你會解嗎？

生：會.

師：很好，雖然無理不等式不在我們的教學范圍內，我相信我們也會解決的.不過我們想想，能否繞開解無理不等式這道坎？

學生二：可以用根與系數的關系，設兩根為x1，x2，由0≤x1≤2，0≤x2≤20≤x1+x2≤4，0≤x1#8226;x2≤40≤2m-12≤4，0≤m2-1≤1.

學生三：還要加上條件Δ≥0.

師：你補充得很及時，那么，據此就能得到正確的答案么？

學生進入思考.

師：我們再來重審同學二的式子，0≤x1≤2，0≤x2≤2…(1)與0≤x1+x2≤4，0≤x1#8226;x2≤4…(2)真的等價嗎？

學生二：是有問題，若x1=12，x2=3，則滿足后者但不滿足前者.

師：那應該怎么改進呢？其實不等式組（1）說明x1，x2，2-x1，2-x2都是非負數，它的等價不等式組可以怎么寫？

很快學生得出了不等式組Δ≥0，x1x2≥0，x1+x2≥0，(2-x1)(2-x2)≥0，(2-x1)+(2-x2)≥0.

師：從一元二次方程的根的角度出發，我們得到了兩種求解方法，那么能否從函數的角度去解決這個問題呢？

學生四：根據方程的根與函數零點之間的關系，可以利用二次函數的圖像來解決.

設函數f(x)=x2+12-2mx+m2-1，由已知條件易知

12-2m2-4(m2-1)≥0，0<2m-122<2，f(0)=m2-1≥0，f(2)=4+212-2m+m2-1≥0m∈1，178.

教師及時畫出圖像，形象地反映出學生的解題依據.

3.說解題的領悟

通過師生互動，得到了解題的方案，但仍然需要進行檢查反思，這有利于鞏固知識，提高能力.教師心里很清楚，討論中最具價值的應是最后一種解法，它體現了方程與函數的內在聯系與相互轉化的數學思想.所以教師應有意識地向這方面引導，歸納出將二次方程問題轉化為函數問題時，需考慮端點函數值的符號、判別式及對稱軸的位置等幾方面來列式求解.

4.說題目的變式

問題的解決是數學教學的主要任務，在解決問題后，教師組織學生進行合作討論，通過改變已知條件、待求結論，對其進行挖掘、變通、延伸.通過訓練學生對問題進行舉一反三，更能達到事半功倍的教學效果.

學生舉例，如：

方程變為“x2+12-2mx=0”，其他不變；

條件變為“在區間［0，2］無解”，其他不變；

題目變為：已知關于x的不等式x2+12-2mx+m-1>0（m是與x無關的實數）m∈［2，4］恒成立，求x的取值范圍.

……

教師可在學生提議的變化上作些歸納：①變根的個數，在給定區間內有兩實根、一個實根和無實根；②變方程為不等式；③改變題目的條件與結論的位置，已知m的取值范圍，討論方程的根的位置；等等.通過問題與思考不斷地激勵學生的思維.

總之，在教學中與學生互動說題有利于解題，也有利于培養學生觀察、分析及表達能力，并進一步激發他們學習的興趣.說題既能發揮教師的主導作用和學生的主體作用，也能調動其學習的積極性，同時還有利于改變教師傳統的講課模式，利于創造全新的教學氛圍，同時也能促使教師進行新型教學方式的探求.