圓的幾何性質(zhì)在解題中的妙用

【摘要】圓作為一種簡單的曲線，在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過.它的幾何性質(zhì)非常豐富，若能抓住題設(shè)中圓的圖形特征和數(shù)量關(guān)系，充分利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì)，常常可使問題的解決變得更簡捷.

【關(guān)鍵詞】圓；解題方式

1.過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切線長相等

例1 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.P是雙曲線上的一點(diǎn).圓I是△PF1F2內(nèi)切圓，圓I與線段F1F2切于點(diǎn)A，則A點(diǎn)坐標(biāo)為.

解析 雙曲線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差的絕對值等于定長2a，∴PF1-PF2=2a…(1).又∵切線長相等，PF1=PQ+QF1，PF2=PR+RF2，其中，PQ=PR，QF1=F1A，RF2=AF2，代入（1），得F1A-F2A=2a…(2).又∵F1A+F2A=2c…(3)，(2)+(3)，得F1A=a+c=xA-xC=xA+c，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(a，0).

2.直徑所對的圓周角等于90°

例2 已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若c滿足（a-c）（b-c）=0，則|c|的最大值是.

解析 由（a-c）（b-c）=0，聯(lián)想到圓的直徑所對的任意圓周角等于90°.如圖所示，作以AB為直徑的圓，CA=a，CB=b，P為圓周上任意一點(diǎn)，CP=c，∴a-c=PA，b-c=PB.∵PA⊥PB，∴（a-c）⊥（b-c），∴|c|就是線段CP的長，最長為圓的直徑.在等腰三角形ABC中，CA=CB=1，∴直徑AB=2，得|c|的最大值是2.

3.同弧或等弧所對的圓周角相等

例3 已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是.

解法1利用了正弦定理，解題比較方便.解法2充分利用了圓的幾何性質(zhì)，十分巧妙.

解法1 利用題設(shè)條件及其幾何意義表示在三角形中，即可迎刃而解.設(shè)OA=α，OB=β，如圖，由題意得∠OAB＝60°，∴0°<∠OBA<120°，∴0

解法2 利用題設(shè)條件α與β-α的夾角為120°，聯(lián)想到圓的幾何性質(zhì)：同弧或等弧所對的圓周角相等.作圖如右，作圓O，AB為直徑，△ABC為直角三角形，AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=60°，∴AB=233.CA=α，CP=β，PA=β-α，∠APC的補(bǔ)角就是α與β-α的夾角，為120°.|α|的取值范圍就是CP線段長的取值范圍，CP最長為圓的直徑AB=233，∴|α|的取值范圍是0，233 .

圓的其他幾何性質(zhì)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，大多數(shù)學(xué)生應(yīng)用起來還是比較自如.筆者不多贅述.僅以下例，權(quán)當(dāng)拋磚引玉.

例4 已知z∈C，且|z|≤12，求|z+1|的取值范圍.

分析 利用復(fù)數(shù)模在復(fù)平面上所對應(yīng)的圖形圓及其幾何意義解決此類問題.

解 |z|≤12在復(fù)平面上表示的圖形為以原點(diǎn)為圓心，以12為半徑的圓周及圓的內(nèi)部，|z+1|表示在復(fù)平面上z對應(yīng)的點(diǎn)與(-1，0）對應(yīng)點(diǎn)間的距離.由圖，|z+1|最大值為|AC|=32，|z+1|最小值為|AB|=12.故|z+1|∈12，32 .