一次“忽視學生需求”的尷尬教學設計

無論是人教社的老教材還是新課程標準實驗教科書（必修）中，對“點到直線的距離”公式的推導中，求P到直線l的距離d時，教材都是這樣分析的：由方程思想求垂足Q的坐標，再根據兩點之間的距離公式求|PQ|，即為P到直線l的距離.此法雖然思路十分自然，但具體運算較繁，而介紹了構造直角三角形，用面積法求解.

在教學設計中我也多次按此思路進行講解，然而有一次，正當我為漂亮地完成此公式推導而欣賞時，學生1突然站起來對這樣的處理說了“不”字，他認為這一分析推導思路太突然，不易想到.接著他將提前預習的思路及推導過程展示在黑板上：圖 1

如圖1所示，已知點P(x0，y0)，直線l的方程為Ax+By+C=0，過P作PQ⊥l，設垂足為Q(m，n)，當A≠0時有Am+Bn+C=0，n-y0m-x0=BA.

∵d=(m-x0)2+(n-y0)2=(m-x0)2+B2A2(m-x0)2=1+B2A2(m-x0)2，

于是方程組可變形為

n-y0=BA(m-x0)，A(m-x0)+B(n-y0)=-(Ax0+By0+C)，

解得(m-x0)2=A2(A2+B2)2(Ax0+By0+C)2，

∴d=1+B2A2(m-x0)2

=A2+B2A2#8226;A2（A2+B2）2(Ax0+By0+C)2

=|Ax0+By0+C|A2+B2.

當A=0時，d=|By0+C|B2=By0+CB=y0--CB，由Am+Bn+C=0，A=0，得n=-CB，∴d=|y0-n|=y0+CB，公式仍然成立（全班學生給予了熱烈的掌聲）.

師：這種順應自然的思路，巧妙回避求垂足坐標的運算技巧，很好！整體代換的思想方法運用得十分成功.教材構思雖巧妙，但不屬通法，學生1敢于挑戰的學習鉆勁值得大家學習！即時的鼓勵表揚，使得“一石激起千層浪”，又有學生2站了起來.

學生2：求P到直線l的距離公式，教材中采取由一般到特殊的處理方式不好接受，對過P作x軸（或y軸）的平行線太突然，不易想到，如果按特殊到一般的思想方法易探索出這一證法.

（1）當直線l的方程為Ax+C=0時，如圖2，P到l的距離d=|x0-m|=-x0--CA=Ax0+CA.

（2）當直線l的方程為By+C=0時，如圖3，P到l的距離d=|y0-n|=By0+CB .

（3）當直線l的方程為Ax+By+C=0(AB≠0)時，在（1）（2）的基礎上很容易地想到如圖4.過P作出與x軸、y軸平行的輔助線來，從而利用教材的思路處理求P到l的距離d（全班學生掌聲一片）.

師：學生2由特殊到一般的這種數學思想是探究數學問題的常用方法，精彩的敘述和思路得到了大家的贊許.學生2的思路的流露，良好的鋪墊，教材的構思則自然形成.教師的肯定，激發了同學們的熱情，思路的閘門大開，接著學生3發言.

學生3板書了自己的推導證明:當B≠0時，在直線l上任取一點，不妨設P10，-CB，直線l的法向量n=(A，B)，則P到l的距離等于向量P1P在向量n方向上的射影長度d，P1P=x0，y0+CB.

d=P1P#8226;n|n|=x0，y0+CB#8226;(A，B)A2+B2=Ax0+By0+CA2+B2 .

當B=0時，可直接由圖形證(略)（掌聲又是一片）.

師:學生3另辟蹊徑，用向量方法，不需添輔助線，方法簡明易掌握，體現了知識的綜合運用，還沒等我說完，就被學生4的發言打斷，他也敘述并板書了過程:在直線l上任取一點B(x1，y1)，設PQ與PB的夾角為θ，則直線l的法向量n=(A，B)，∴d=|PB|#8226;cosθ=|PB|#8226;PB#8226;PQ|PB|#8226;|PQ|=|PB#8226;n||n|=|(x1-x0，y1-y0)#8226;(A，B)|A2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2.

此節課我已“無法”按預先設計的走下去了，同學們探究的熱情空前高漲，我只好順應學生的需求，讓他們大膽繼續探索.

學生5：我是利用平幾中的相似三角形.當A，B，C均不為零時，過P作x軸的垂線交l于點Sx0，-Ax0+CB，則△PQS∽△MNO，∴d|ON|=|PS||MN|dCA=y0+Ax0+CBCA2+B2ABd=|Ax0+By0+C|A2+B2.易驗證C=0或A，B之一為零時，公式也成立.

此時，下課鈴聲已響，我只好無耐地請同學們下課后繼續探究.

也許是這節課給同學們留下了深刻印象，當學到圓的知識點時，又有兩名同學給出了如下兩種證法.

學生6：利用點關于直線對稱的點的性質.

P和P1(x1，y1)關于直線l對稱，

∴AB#8226;y1-y0x1-x0=1，A#8226;x0+x12+B#8226;y0+y12+C=0.

P1-(A2-B2)x0+2ABy0+2ACA2+B2，-2ABx0-(A2-B2)y0+2BCA2+B2，

∴2d=(x0-x1)2+(y0-y1)2

=x0+(A2-B2)x0+2ABy0+2ACA2+B22+y0+2ABx0-(A2-B2)y0+2BCA2+B22

=2|Ax0+By0+C|A2+B2d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

學生7：利用圓和直線相切的條件.

Ax+By+C=0，(x-x0)2+(y-y0)2=d2，由直線方程得y=-Ax-CB.代入圓的方程，經整理得(A2+B2)x2-2［B2x0-A(By0+C)］x+［B2(x20-d2)+(By0+C)2］=0，∴Δ=0，從而得(Ax0+By0+C)2=(A2+B2)d2d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

還有學生8利用閱讀的課外知識(行列式)，利用等積變換證明了此公式.

∵S△PMN=12x0y01-CA010-CB1=C(Ax0+By0+C)2AB，又S△PMN=12|MN|#8226;|PQ|=12CA2+B2ABd，

∴A2+B2#8226;d=|Ax0+By0+C|d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

反思 課堂教學活動是教師事先設計好的，學生被老師牽著鼻子走，學生缺少發現問題、提出問題的機會，解決問題基本上也是在教師的指導點撥下進行的，學生的主觀能動性沒有得到很好地發揮，不同的學生的不同發展需求沒有得到很好地體現，這種忽視學生需求的教學設計，偏離了以學生發展為本的教學理念.

學習過程認知的主體是學生，而不是教師，教師的作用主要是組織、啟發和誘導.課堂教學不僅要讓學生掌握相應的知識，還要給學生提供一種經歷，使他們在這種經歷中，能夠實現情感態度、意志品質、創新意識和實踐能力等方面的協調發展.如果學生缺少學習的主動性和積極性，教學就將成為無帆之船，缺少方向性，從而顯得蒼白無力.因此，在進行教學設計時，要根據學生的年齡特點，從學生的認知需求、心理需求、發展需求出發，注意創設問題情景，引起學生的認知沖突，設法啟動學生的思維閘門和想象的翅膀，讓學生積極、主動地投入到學習活動中去，從而提高數學教學的實效性.