橢圓中的數學之美

【摘要】本文從橢圓的定義、方程形式、圖形、性質各個方面來介紹數學的美的具體體現：橢圓的方程形式的簡潔美、橢圓的方程與圖形體現和諧之美、橢圓的定義與方程及圖形變化之美、橢圓圖形的對稱美、橢圓的性質類比創新美、橢圓第二定義的統一美.目的是在數學學習生活中能善于發現美，使數學生活不再枯燥.

【關鍵詞】橢圓；數學；美

數字化時代有多種的美給人以視覺上的享受，而在大多數人認為的“枯燥”的數學教學中也有一種美的存在，它的美存在于我們生活的每個角落.因為數學教育是我們的文化知識中極為重要的組成部分.它不但有智育的功能(培養學生的思維品質)，也有其美育的功能(陶冶學生的情操，培養學生學習數學的興趣).數學之美深深地感染著人們的心靈，激起人們對它的欣賞.下面以新課程教材蘇教版選修1-1中“橢圓”為例從幾個方面來欣賞數學美.

一、橢圓的方程形式的簡潔美

愛因斯坦說過：“美，本質上終究是簡單性.”他還認為，只有借助數學，才能達到簡單性的美學準則.物理學家愛因斯坦的這種美學理論，在數學界，也被多數人所認同.樸素、簡單，是其外在形式.只有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美.而橢圓的方程形式正是具備了這種性質.從定義到建立坐標系到求解出橢圓的標準方程，經歷一個比較復雜的過程，最后所有的條件重新構建成一個新的形式，即橢圓的標準方程.正如人們常說的一句話:濃縮的才是精華.正因如此，橢圓的標準方程形式x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2b2+y2a2=1(a>b>0)，才是如此的樸素簡潔，易記憶.簡單的四個字母x，y，a，b，不僅包含了解析幾何的很多知識、方法、思想，而且包含了宇宙萬物的運行軌跡，太陽、地球、人造衛星等的運行軌跡盡在其中，給我們以無窮的想象和探索宇宙奧秘的動力.

二、橢圓的方程與圖形體現和諧之美

橢圓的方程：x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2b2+y2a2=1(a>b>0)，其中a與b的大小關系以及符號形式的變化，把橢圓中最重要的幾個字母之間的關系形成了絕妙的有趣的聯系，a，b，c，e包容得如此協調、有序.直角三角形、圓、雙曲線、拋物線甚至拓展到空間中的球體、錐體都有的影子，橢圓與其他的圖形共生共存.對它們的結合人們始則驚詫，繼而贊嘆的確是“天作之合，巧奪天工”，因為，由它們的結合能派生出許多美的有用的結論來.最美的橢圓的離心率e=ca=5-12，也是黃金分割比(0

三、橢圓的定義與方程及圖形變化之美

從橢圓的定義到方程形式與圖像及性質都體現了變化的美.從橢圓定義來看：平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距.從它與圓的定義及雙曲線和拋物線的定義來比較可以看出定點數目的變化，長度大小的變化，運算形式的變化，位置的變化.然而萬變不離其宗，本質沒有改變.

四、橢圓圖形的對稱美

在古代“對稱”一詞的含義是“和諧”“美觀”.事實上，譯自希臘語的這個詞，原義是“在一些物品的布置時出現的般配與和諧”.畢達哥拉斯學派認為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圖形.圓是中心對稱圓形——圓心是它的對稱中心，圓也是軸對稱圖形——任何一條直徑都是它的對稱軸.但我認為:圓的美少了一種變化，少了一種靈氣.而橢圓是由圓變化而來，給圓一點外力，擠壓一下，它有彈性，有張力，有一種力的美呼之欲出.橢圓也是中心對稱圖形，原點是它的對稱中心，橢圓也是軸對稱圖形，坐標軸是它的對稱軸.對稱美的形式很多，對稱的這種美也不只是數學家獨自欣賞的，人們對于對稱美的追求是自然的、樸素的.我們喜愛的對數螺線、雪花，知道了它的一部分，就可以知道它的全部，從中我們體會到了對稱的美與成功.

五、橢圓的性質類比創新美

由圓的一些性質類比產生橢圓的相關性質，再由橢圓的相關性質類比雙曲線與拋物線的相關性質，這是一個連續不斷的過程，通過量變與形變達到質的改變，但數學的本原沒有改變.正因為不斷創新發現的過程，數學得到了讓人意想不到的發展.

六、橢圓第二定義的統一美

橢圓、雙曲線和拋物線，這幾種曲線的統一定義如下：到定點距離與它到定直線的距離之比是常數e的點的軌跡.當e＜1時，形成的是橢圓；當e＞1時，形成的是雙曲線；當e＝1時，形成的是拋物線.e＝0時又變成了圓.數學的發展是逐步統一的過程.統一的目的也正如希爾伯特所說的：為了追求更有力的工具和更簡單的方法.而橢圓的第二定義正驗證了此言.人類在不斷探尋著紛繁復雜的世界，又在不斷地用統一的觀點認識世界，宇宙沒有盡頭，統一美更需要永遠的追求.

橢圓的數學之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側面的美都不是孤立的，它們是相輔相成、密不可分的.它需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會它的美學價值和它豐富、深邃的內涵與思想，及其對人類思維的深刻影響.如果在學習過程中，能認真探索、發現研究數學方法思想，并從中獲得成功的喜悅和美的享受，那么就會不斷深入其中，欣賞和創造更多的數學之美.