關注“教材習題”的學習與研究

【摘要】本文通過舉例說明，關注“教材習題”的學習與研究，可以豐富、充實高三數學復習課的教學內容，也有利于師生能力的迅速提高.

【關鍵詞】教材習題；考查要點；一題多解

本文結合北師大版選修教材2-2中的有關習題，主要說明：在高三數學復習階段關注教材習題，有利于發現教材習題之間的有機聯系，有利于溝通所學知識、方法在解題中的靈活運用，有利于培養創新與探究精神.

一、教材習題再現

1.（第7頁習題1-1第2題）已知13+23=32=(1+2)2，13+23+33=62=(1+2+3)2，13+23+33+43=102=(1+2+3+4)2，試寫出13+23+33+…+n3的表達式.

2.（第7頁習題1-1第4題）閱讀以下求1+2+3+…+n的值的過程:因為(n+1)2-n2=2n+1，n2-(n-1)2=2(n-1)+1，…，22-12=2×1+1，以上各式相加得(n+1)2-1=2(1+2+…+n)+n，所以1+2+3+…+n=n2+2n-n2=n(n+1)2.類比以上過程，求12+22+32+…+n2的值.

3.（第21頁復習題一，A組，第14題）用數學歸納法證明：13+23+33+…+n3=n2(n+1)24=(1+2+3+…+n)2（n是正整數）.

二、剖析考查要點

上述第1題主要考查由特殊到一般的歸納推理能力，第2題主要考查借助解題方法上的類比求解相關問題，第3題主要考查運用數學歸納法證明與正整數n有關的命題（請注意：本題要證明的恒等式，恰好就是第1題需要寫出的表達式）.

三、探求一題多解

1.提出問題

一般地，如果對證明方法不加限制，那么我們可以利用哪些方法證明13+23+33+…+n3=n2(n+1)24（n是正整數）呢？

2.解決問題

方法一 利用數學歸納法.（略）

方法二 利用類比推理法.

上述第2題，利用類比推理我們可求得12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1)（具體過程，略）.接下來，我們再繼續如此利用類比推理：

∵(n+1)4-n4=4n3+6n2+4n+1，

n4-(n-1)4=4(n-1)3+6(n-1)2+4(n-1)+1，…，

24-14=4×13+6×12+4×1+1，以上各式相加得

(n+1)4-1=4(13+23+…+n3)+6(12+22+…+n2)+4(1+2+…+2)+n，

∴13+23+33+…+n3

=14［(n+1)4-1-6(12+22+…+n2)-

4(1+2+…+n)-n］

=14［n4+4n3+6n2+4n-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n］

=14(n4+2n3+n2)=n2(n+1)24.

故得證.

方法三 借助組合知識加以求解.

∵6C3n+2=n3+3n2+2n，2C2n+1=n2+n，C1n=n，

∴n3=6C3n+2-6C2n+1+C1n，

∴13+23+33+…+n3

=6(C33+C34+C35+…+C3n+2)-

6(C22+C23+C24+…+C2n+1)+(C11+C12+C13+…+C1n)

=6C4n+3-6C3n+2+C2n+1

=14(n+3)(n+2)(n+1)n-

(n+2)(n+1)n+(n+1)n2

=n2(n+1)24.

故得證.

注意 一般地，Cmm+Cmm+1+Cmm+2+…+Cmm+k=Cm+1m+k+1(m，k∈N*).

綜上，充分挖掘教材習題的學習與研究價值，對于高三數學復習課是一個有益的嘗試，對于師生能力的提高更是一種捷徑！