函數定義域意識的培養

【摘要】回顧整個高中函數內容的教學，函數的定義域不考慮或考慮不全是學生出錯最多的考點之一.函數的定義域直接影響函數的解析式、值域、單調性、奇偶性等問題的求解，特別是隱含條件下的函數的定義域直接決定了整道題能否成功解決，同時通過培養學生的定義域意識可以培養學生數學思維的嚴密性、靈活性、敏捷性、深刻性、批判性和創造性等思維品質.本文主要對學生在定義域問題中常見的錯解以及從定義域對解決函數問題的影響等角度闡述對函數的定義域意識的培養.

【關鍵詞】定義域；數學思維；分類討論；分離變量；變參法

一、函數定義域的常見錯解剖析

在求函數解析式、值域、單調區間、判斷函數的奇偶性等問題中，必須先考慮函數的定義域，否則極易出錯.

例1 求函數f(x)=lg(x2-9)的單調遞增區間.

錯解 令t=x2-9，則y=lgt，它是增函數.又∵t=x2-9在［0，+∞)上為增函數，由復合函數的單調性可知，函數f(x)=lg(x2-9)在［0，+∞)上為增函數，即原函數的單調增區間是［0，+∞).

剖析 判斷函數的單調性，必須先求出函數的定義域，單調區間應是定義域的子區間，應先確定函數的定義域.由x2-9>0，得f(x)的定義域為(-∞，-3)∪(3，+∞).由此可確定函數f(x)=lg(x2-9)的單調增區間是(3，+∞).

例2 判斷函數f(x)=1-x2|x+2|-2的奇偶性.

錯解 很多學生處理該題的時候，看到偶次方根和絕對值，就判斷該函數是偶函數或是非奇非偶函數.

剖析 本題應先求函數的定義域為{x|-1≤x≤1，且x≠0}，關于原點對稱，從而簡捷地去掉分母的絕對值，化簡為f(x)=1-x2x，從而很容易判斷f(x)為奇函數.在整個過程中，定義域起到了化簡的關鍵作用.

二、函數中隱含問題的定義域意識的培養

隱含問題中定義域意識的培養考查了學生數學思維的深刻性、批判性，就好比識別戰爭中的間諜一樣，也可以培養學生仔細嚴謹的習慣和敏銳的洞察力.

例3 已知集合A={(x，y)|y=4-x2}，B={(x，y)|y=x+m}，若A∩B≠，求m的范圍.

錯解 本題很容易想到利用圖像來解題，對y=4-x2平方，得到圓x2+y2=4，結合圖像可得m的范圍為［-22，22］.

剖析 本題錯解的關鍵是：在平方的過程中沒有注意函數y=4-x2中“y≥0”這一隱含條件，只是一個半圓，正解應為［-2，22］.

三、恒成立問題中函數定義域意識的培養

恒成立問題是近年高考中的一種熱點題型，而在該類問題的處理中，函數定義域意識是一個關鍵點，能認真分析各個參數的定義域，就能很好地找準該問題的突破口，從而培養學生數學思維的靈活性、創造性、廣闊性等品質.

例4 若不等式x2+ax-a≥0對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍.

分析1 設f(x)=x2+ax-a，該二次函數的定義域為R，開口向上，只需判別式Δ=a2+4a≤0即可，可得a的取值范圍為-4≤a≤0.

分析2 設f(x)=x2+ax-a，只需f(x)min≥0，故有f-a2≥0，代入可得a的取值范圍為-4≤a≤0.

變式1 若不等式x2+ax-a≥0對一切x∈(1，2］恒成立，求a的取值范圍.

分析1 本題與例4最本質的區別就是：不等式所對應的函數的定義域由R變為了區間(1，2］，通過分析對比，再用判別式Δ已經不能解決該問題，注意到題目中是知道x的范圍，求參數a的范圍，故可考慮用分離變量法解決問題.由題意可得a≥-x2x-1在x∈(1，2］上恒成立，只需a≥-x2x-1max，經化簡-x2x-1=11x-122-14，1x∈12，1，當1x=12時，-x2x-1max=-4，所以a的取值范圍是a≥-4.

分析2 設f(x)=x2+ax-a，只需f(x)min≥0，對稱軸為x=-a2，屬于二次函數中的定區間動軸問題，故需對對稱軸分三類討論：（1）當a≥-2時，因為f(x)在x∈(1，2］遞增，故只需當x=1時成立即可，可得a≥-2；（2）當a≤-4時，因為f(x)在x∈(1，2］遞減，故只需當x=2時成立即可，可得a=-4；（3）當-4

通過對兩個方法的比較，我們可以得出，在該類問題的處理中，分離變量法更簡捷，分類討論是通性通法，更具有一般性.

變式2 若不等式x2+ax-a≥0對一切x∈(0，2］恒成立，求a的取值范圍.

分析 變式2是在變式1的基礎上，定義域再次發生變化.再對比變式1的討論，發現如果采用變式1的分離變量的方法又面臨了新的問題，要分x=1，x>1和x<1三類討論，然后三類求交集，可以解決問題，但較繁，還不如用分析2的方法直接分類討論更簡捷一些，最后可得a的取值范圍是-4≤a≤0.

綜上所述，在求解函數解析式、值域、單調性、奇偶性等問題中，函數的定義域是何等的重要.能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免很多錯誤結果的產生.思辨函數定義域的改變對解題方法和結果的影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于學生思維能力不斷提高.

【參考文獻】

［1］林銀彪.函數定義域與思維品質.浙江省溫嶺市職業技術學校.

［2］戚衛民.利用函數的定義域培養學生的數學思維品質.天津市塘沽區中等專業學校.