三角形邊的三等分線的探究

【摘要】三角形各角的三等分線中，每相鄰的兩條三等分線的交點構成一個正三角形，這是著名的莫勒定理.文章考慮的是三角形邊的三等分線，得到了它們的交點所構成三角形的一些性質.

【關鍵詞】三角形;三等分線;相似;相似比

1904年英國數學家莫勒(Morley)發現了初等幾何中的一條著名定理:三角形三個角的六個三等分線中，相鄰的（不在同一個角上）兩條三等分線的交點，是一個等邊三角形的頂點.本文探討的是三角形邊的三等分線交點所構成的三角形性質.

圖 1

引理 如圖1，AE1，AE2，BF1，BF2，CD1，CD2為△ABC邊的三等分線，則每條三等分線被其他四條三等分線所截的五條線段的長度至上而下(從三角形頂點開始)之比都為60∶24∶21∶15∶20.特別地，AA1∶A1A4∶A4B3∶B3B1∶B1E1=60∶24∶21∶15∶20.

證明 連接D1F2分別交AE1，AE2于G1，G2.

則D1G1∶E1C=13BE1∶E1C=1∶6，

得G1A1∶A1E1=1∶6，從而

G1A1=17G1E1=17×23AE1=221AE1，

AA1=AG1+G1A1=13AE1+221AE1=37AE1.

另一方面，利用G1F2∶BE1=2∶3，有

A1A4=G1A4-G1A1=25G1E1-221AE1

=25×23AE1-221AE1=635AE1.

只要連接F1D2，類似地，可得B1E1=17AE1，B3B1=328AE1.

∴A4B3=AE1-AA1-A1A4-B3B1-B1E1=320AE1.

因此，AA1∶A1A4∶A4B3∶B3B1∶B1E1=60∶24∶21∶15∶20.

同理，其余的三等分線被△ABC三等分線所截的五條線段長度至上而下之比為60∶24∶21∶15∶20.

定理1 三角形邊的六條三等分線中，相鄰的（不在同一個角上）兩條三等分線的交點構成的三角形與原三角形相似，且邊的相似比為1∶5.

圖 2

如圖2，已知△ABC邊的三等分線AE1與BF2，BF1與CD2，CD1與AE2的交點分別為A4，B4，C4，則△A4B4C4∽△ABC，且邊的相似比為1∶5.

證明 由引理可知，A4C4∥E1E2，B4C4∥D1D2，A4B4∥F1F2，從而△A4B4C4∽△ABC，且A4C4BC=A4C43E1E2=AA43AE1=15.證畢.

根據引理，類似定理1的證明，還可以得到下面一個結論.

定理2 三角形邊的六條三等分線中，靠近三角形同一頂點的（不在這個頂點上）兩條三等分線的交點構成的三角形與原三角形相似，且邊的相似比為1∶4.

圖 3

如圖3，已知△ABC邊的三等分線CD1與BF2，AE1與CD2，BF1與AE2的交點分別為A3，B3，C3，則△A3B3C3∽△ABC，且邊的相似比為1∶4.

定理3 在等腰三角形邊的六條三等分線中，兩組不相鄰的三等分線交點形成的兩個三角形全等.

圖 4

如圖4，已知△ABC為等腰三角形，A1，B1，C1，A2，B2，C2分別是邊的三等分線CD1與AE1，AE1與BF1，BF1與CD1，AE2與BF2，BF2與CD2，CD2與AE2的交點，則△A1B1C1≌△A2C2B2.

證明 由已知，可得AE1=AE2，BF1=CD2，CD1=BF2.再根據引理，有A1B1=A2C2，B1C1=C2B2，A1C1=A2B2，所以△A1B1C1≌△A2C2B2.證畢.

另外，紀保存在2000年還得到三角形各外角的三等分線中，靠近每邊的兩條的交點(共三個)構成正三角形.雖然本文沒得到與泰勒定理相關的性質，但本文還發現了當考慮的三角形為等邊三角形時，圖2所示的△A4B4C4，圖3所示的△A3B3C3以及圖4所示的△A1B1C1，△A2B2C2均為等邊三角形.

【參考文獻】

紀保存.關于三角形外角三等分線的一個定理.數學通報，2000(1)：20.