第二類曲面積分的對稱性定理

【摘要】在重積分的計算中，巧妙地利用積分函數和積分區域的對稱性可以極大地簡化積分計算.這一計算的思想我們比較方便地可以推廣到第二類曲面積分的計算中，建立了對應的第二類曲面積分的對稱性定理.

【關鍵詞】曲面積分；變量輪換對稱性；中心對稱性

【基金項目】湖南科技學院教學改革項目（XKYJ2010032）.

重積分的對稱性在重積分的計算中是非常有意義的.對稱性定理在許多數學和實際問題中有著重要的作用，既可以利用重積分的對稱性證明一些重要的不等式、簡化重積分的計算，也可以解決一些幾何問題、概率問題，并且在物理學中也有廣泛的應用.本文主要是將重積分的對稱性概念推廣到第二類曲面積分的計算中，建立相應的對稱性定理，為計算某些類型的第二類曲面積分提供一種簡單的計算方法.

1.積分曲面的對稱性定義

定義1 設Σ為一個閉曲面，如果點(x，y，z)∈Σ，且(x，y，-z)∈Σ，則稱閉曲面Σ關于xOy平面對稱.類似地可以定義閉曲面Σ關于xOz，yOz平面對稱.

定義2 設Σ為一個閉曲面，若有點(x，y，z)∈Σ就有點(-x，-y，-z)∈Σ，則稱閉曲面Σ關于原點成中心對稱.

定義3 設Σ為一個閉曲面，若表示曲面Σ的方程F(x1，x2，…，xn)=0，(n≥2)中任意兩個變量對調后保持不變，則稱曲面Σ關于變量輪換對稱.

2.曲面積分的對稱性定理

根據重積分的對稱性定理可得如下積分曲面對稱性的性質：

定理1 設D為一閉區域，D為其邊界且D關于xOy平面對稱，若f(x，y，z)在D上可積，則Df(x，y，z)dxdy=2D 1f(x，y，z)dxdy，在對稱點f(x，y，z)是關于z的奇函數，0，在對稱點f(x，y，z)是關于z的偶函數，D1為D的一個對稱部分.

證明 由已知設D關于xOy平面對稱的兩部分為D1，D2，且D1方向向上，D2方向向下.又設f(x，y，z)可偏導且在對稱點上值的大小相等，即f(x，y，z1)=±f(x，y，z2).其中點(x，y，z1)∈D1，點(x，y，z2)∈D2，且z1=±z2.

(1)若f(x，y，z1)=f(x，y，z2)，又因為在D1，D2中，dxdy方向相反，所以有

Df(x，y，z)dxdy=D 1f(x，y，z1)dxdxy+D 2f(x，y，z2)dxdy

=D1f(x，y，z)zdxdydz-D2f(x，y，z)zdxdydz

=D xyf(x，y，z1)dxdy-D xyf(x，y，z2)dxdy

=2D xyf(x，y，z1)dxdy=2D 1f(x，y，z)dxdy.

D1，D2分別表示D1與xOy平面，D2與xOy平面所圍的區域；Dxy表示D1，D2在xOy平面的投影.

（2）若f(x，y，z1)=-f(x，y，z2)，則f(x，y，z1)dxdy與f(x，y，z2)dxdy符號相同，所以

Df(x，y，z)dxdy=

D 1f(x，y，z1)dxdy+D 2f(x，y，z2)dxdy

=D1f(x，y，z)zdxdydz-D2f(x，y，z)zdxdydz

=D xyf(x，y，z1)dxdy-D xyf(x，y，z2)dxdy=0.

D1，D2分別表示D1與xOy平面，D2與xOy平面所圍的區域；Dxy表示D1，D2在xOy平面的投影.由性質1可推得如下類似性質（證明同性質1）：

定理2 設D為一閉區域，D為其邊界且D關于yOz平面對稱，若f(x，y，z)在D上可積，則

Df(x，y，z)dydz=2D 1f(x，y，z)dydz，在對稱點f(x，y，z)是關于x的奇函數，0，在對稱點f(x，y，z)是關于x的偶函數，

D1為D的一個對稱部分.

定理3 設D為一閉區域，D為其邊界且D關于xOz平面對稱，若f(x，y，z)在D上可積，則

Df(x，y，z)dzdx=2D 1f(x，y，z)dzdx，在對稱點f(x，y，z)是關于y的奇函數，0，在對稱點f(x，y，z)是關于y的偶函數，

D1為D的一個對稱部分.

定理4 設D為一閉區域，D為其邊界且D關于原點成中心對稱，若f(x，y，z)在D上可積，則有

Df(x，y，z)dxdy=2D 1f(x，y，z)dxdy，在對稱點f(x，y，z)是關于x，y，z的三元奇函數，0，在對稱點f(x，y，z)是關于x，y，z的三元偶函數，

D1為D的一個對稱部分.同理，對于Df(x，y，z)dxdz，Df(x，y，z)dydz也有類似的結論.

在曲面積分的計算中正確地運用這些對稱性定理，會在計算中給我們帶來極大的方便.

【參考文獻】

［1］程黃金.重積分計算中的対稱性定理及應用［J］.中國科技信息，2006(7):286-287.

［2］曹榮榮.重積分中輪換對稱性的應用［J］.高等數學研究所，2004(7):23-24.