利用數軸感悟數形結合思想

【摘要】數軸是初中數學中非常重要的概念和工具，是初中數學中最早體現“數形結合”思想的典型范例.數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，使很多問題便迎刃而解.

【關鍵詞】數軸；相反數；絕對值；實數；感悟；數形結合；數學思想

數學是思維的體操，學習數學可以使你思考問題時更合乎邏輯，更有條理，更嚴密精確，更深入簡潔，更善于創新……數學知識的教學有兩條線：一條是明線，即數學知識；一條是暗線，即數學思想方法.數形結合是中學數學中一種重要的思想方法.

“數缺形，少直觀；形缺數，難入微”，這是數學家華羅庚對數形結合思想的深刻、透徹的闡釋.具體地說，就是在解決數學問題時，根據問題的背景、數量關系、圖形特征，或使“數”的問題借助于“形”去觀察，或將“形”的問題借助于“數”去思考，這種解決問題的思想稱為數形結合思想.因此，我們數學教師在教學過程中既要注重基礎知識的教學，更要以學生為本，不斷向學生滲透有關數學思想，關注學生的發展.

數軸是初中數學中非常重要的概念和工具，是初中數學中最早體現“數形結合”思想的典型范例.在數學教學中恰當地運用數軸，不論是讓學生透徹地理解概念，還是培養學生正確而迅速地解決問題的能力，都有不可替代的作用.下面是本人利用數軸感悟數形結合思想的幾點做法與體會.

一、數軸的概念

規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸，如圖1.

圖 1

原點、正方向和單位長度是數軸的三要素，缺一不可.數軸在初中數學中的運用是初中數學教材中數形結合的第一個實例，它的建立不僅使最簡單的形（數軸上的點）與實數間建立了一一對應關系，還揭示了數形間的內在聯系，使實數的很多性質可由數軸上相應點的位置關系得到形象生動的說明，將負數、相反數、絕對值、有理數的大小比較、實數的相關概念、不等式(組)的解集等知識的“數”和“形”有機地融合在一起，學生可以結合圖形進行直觀分析，以數和形為紐帶，解決問題.

二、利用數軸理解相反數，感悟數形結合思想

像+2和-2，-3和3這樣，只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，0的相反數是0.

在數軸上，表示相反數（除零外）的兩個點分別在原點的兩邊，并且到原點的距離相等，這兩個點關于原點對稱.通過數軸我們可以用數形結合的思想更加直觀地理解相反數的概念.如圖2，a的相反數是-a.

圖 2

三、利用數軸定義絕對值，感悟數形結合思想

在數軸上，表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|.如：在數軸上表示數3的點與原點的距離為3，所以3的絕對值是3，即|3|=3.又如在數軸上表示數-3的點與原點的距離也為3，所以-3的絕對值也是3，即|-3|=3.由于表示距離的數是非負數，所以a的絕對值是一個非負數，|a|≥0.

領會了絕對值的幾何定義，理解它的代數意義就容易了：正數的絕對值是它本身(當a>0時，|a|=a)；負數的絕對值是它的相反數(當a<0時，|a|=-a)；0的絕對值是0（當a=0時，|a|=0）.兩個互為相反數的絕對值相等，因為在數軸上它們離原點的距離相等.

四、利用數軸理解實數，感悟數形結合思想

數軸上的點與實數是一一對應的，即是說，數軸上任意一個點表示一個實數，反過來，任何一個實數可以用數軸上一個點來表示.在原點右側（正方向）的數為正數，在原點左側的數為負數；數軸上原點所表示的數是0，0是“中性”數，它既不是正數，也不是負數，它與正數結合就是非負數，與負數結合就是非正數，在數軸上，所有的實數都自覺地、有序地排列起來.正數家族和負數家族被原點隔開，從不相互侵犯.由于數軸是一條直線，沒有端點，可以向兩邊無限伸展，所以既沒有最大的實數，也沒有最小的實數.

五、利用數軸表示實數，感悟數形結合思想

我們知道，有理數在數軸上容易表示出來，無理數在數軸上怎樣表示呢？

例1 在數軸上描出表示2的點.

分析 我們有什么辦法出現2呢？

圖 3

（1）當學習了勾股定理后，我們很容易算出邊長為1的等腰直角三角形的斜邊長是2，由此我們可以在數軸上作出表示2的點P，如圖3.

（2）但還未學勾股定理又怎么出現2呢？我們知道：面積是1的正方形邊長為1，面積是2的正方形邊長為2；兩個邊長為1的正方形面積之和是2，所以我們將兩個邊長為1的正方形分別沿它的對角線剪開，得到四個等腰直角三角形，即可拼成一個大正方形，這個大正方形的面積就是2，所以大正方形的邊長為2，如圖4所示.

圖 4

圖 5

這就是說，邊長為1的正方形的對角線長是2.利用這個事實，我們容易在數軸上畫出表示2的點，如圖5所示.

例2 在數軸上描出表示π的點.

分析 (1)π是什么？（是圓周率，是無理數）(2)我們有什么辦法出現π呢？（與圓有關的計算公式含有π，例如：圓的周長=2πr）（3）當r=0.5時，這個圓的周長等于多少？（2×π×0.5=π）

因此，在數軸上表示π的方法是：將直徑為1的圓放在數軸上，令其和數軸所在直線相切，且切點為原點，將該圓沿數軸正方向滾動1周后，這時原切點所在的新位置就是表示數π的位置.或者這樣說：將直徑為1的圓的周長展開后放在數軸上，令其中一個端點與數軸的原點重合，則另一端點所在的位置（原點右側）便是數π的位置，如圖6.

圖 6

在數軸上“由數尋點”或“由點找數”都充分體現數形結合這一重要數學思想，此兩例可體會到數軸上的點并不都表示有理數，有理數和數軸上的點不是一一對應的，從而加深對“實數與數軸上的點是一一對應的”這一性質的認識.

六、利用數軸比較實數的大小，感悟數形結合思想

數軸上右邊（正方向）的點所表示的數總比左邊的點所表示的數大.由正負數在數軸上的位置可知，正數都大于0，0都大于負數，正數大于一切負數.因此，借助于數軸比較數的大小時，只要知道它們在數軸上的位置即可判斷出大小.

圖 7

例3 如圖7，數軸上的兩個點A，B分別對應實數a，b，試判斷下列各對數的大小：

（1）a與b2；(2)-2a與-2b.

分析 由數軸A，B的位置可知02.

(1)∵02，∴0

（2）∵02，∴2a<2b，∴2a<2b，從而-2a>-2b.

七、用數軸估算實數，感悟數形結合思想

例4 如圖8，數軸上點P表示的數可能是().

圖 8

A.-3

B.-7

C.-3.2

D.-10

分析 由數軸可知點P表示的數在-3和-2之間，即點P在-9和-4之間.因為-9<-7<-4，所以-7符合題意，故選B.

本題綜合考查了數軸和實數的估算，充分體現數形結合思想的運用.

八、用數軸進行化簡求值，感悟數形結合思想

圖 9

例5 已知實數a，b，c在數軸上的位置如圖9，且|a|=|b|.化簡：|a|+|a+b|-(c-a)2-2c2.

分析 由圖可知，a<0，b>0，c<0，c-a<0.

又因為a<0，b>0，|a|=|b|，所以a與b互為相反數，得a+b=0.

所以，原式=-a+|0|-(a-c)-2(-c)=-a+0-a+c+2c=3c-2a.

本題利用數軸從“形”想“數”，需充分挖掘圖像中隱含的信息，考查了實數的化簡求值問題，在計算時要靈活運用a2=|a|.

總之，數軸是初中數學教材中數形結合的第一個實例，教師在有關知識的教學過程中應充分利用數軸，注重數形結合思想方法的滲透、概括和總結，讓學生體會“數”與“形”的密切聯系，感悟數形結合在解題中的應用，從而加深對所學知識的理解和掌握.通過應用數形結合思想解決問題，能使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，提高學生的解題能力，增強學好數學的自信心.

【參考文獻】

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