一道向量題的溯源與窮流

三角形“五心”的向量問題在近年高考與競賽中屢見.2009年全國高中數學聯賽吉林省預賽中，就有這樣一道題：已知I是△ABC的內心，AC=2，BC=3，AB=4，若AI=xAB+yAC，則x+y的值為.

本文探求該題的起始，探究該題的演變，分析三角形“五心”的性質.

一、三角形重心的性質

例1 （同上教版課本高中二年級第一學期第67頁練習8.3第3題）已知G是△ABC的重心，若AG=xAB+yAC，則x+y的值為.

圖 1

分析 如圖1所示，連接AG并延長，交BC于點D.

重心是三角形三條中線的交點.而根據三角形重心的性質，BD=DC，AG=23AD.

解 AD=AB+BD=AB+DC=AB+（AC-AD），

解得AD=12AB+12AC，AG=23AD=13AB+13AC.

∴x+y=13+13=23.

二、三角形內心的性質

例2 已知I是△ABC的內心，AC=2，BC=3，AB=4，若AI=xAB+yAC，則x+y的值為.

圖 2

分析 如圖2所示，連接AI并延長，交BC于點D，連接BI.

內心是三角形三條內角平分線的交點.而根據三角形內角平分線的性質，BDDC=ABAC=42=2，由BC=3，得BD=2.又根據三角形內角平分線的性質，AIID=BABD=42=2.

解 AD=AB+BD=AB+2DC=AB+2(AC-AD)，

解得AD=13AB+23AC，AI=23AD=29AB+49AC.

∴x+y=29+49=23.

三、三角形旁心的性質

例3 已知IA是△ABC內角A所對的旁心，AC=2，BC=3，AB=4，若AIA=xAB+yAC，則x+y的值為.

圖 3

分析 如圖3所示，連接BIA并延長，交AC的延長線于點D，連接AIA.

旁心是三角形一個內角的內角平分線與另兩個內角的外角平分線的交點.而根據三角形外角平分線的性質，ADCD=ABCB=43，由AC=2，得AD=8.又根據三角形內角平分線的性質，BIAIAD=ABAD=48=12.

解 AIA=AB+BIA=AB+12IAD

=AB+12(AD-AIA)=AB+12(4AC-AIA)，

解得AIA=23AB+43AC.∴x+y=23+43=2.

四、三角形垂心的性質

例4 已知H是△ABC的垂心，AC=2，BC=3，AB=4，若AH=xAB+yAC，則x+y的值為.

圖 4

分析 如圖4所示，連接HA，HB，HC.

垂心是三角形三條高所在直線的交點.而根據三角形垂心的性質，AB⊥CH，AC⊥BH.

解 ∵AB2=16，AC2=4，AB#8226;AC=112，

CH=AH-AC=(xAB+yAC)-AC=xAB+(y-1)AC，

BH=AH-AB=(xAB+yAC)-AB=(x-1)AB+yAC，

∴0=AB#8226;CH=AB#8226;［xAB+(y-1)AC］

=xAB2+(y-1)AB#8226;AC=16x+112(y-1)，

0=AC#8226;BH=AC#8226;［(x-1)AB+yAC］

=(x-1)AB#8226;AC+yAC2=112(x-1)+4y.

解得x=-1145， y=7745.∴x+y=-1145+7745=2215.

五、三角形外心的性質

例5 已知O是△ABC的外心，AC=2，BC=3，AB=4，若AO=xAB+yAC，則x+y的值為.

圖 5

分析 如圖5所示，連接OA，OB，OC.

外心是三角形三邊垂直平分線的交點.而根據三角形外心的性質，AO#8226;cos∠OAB=12AB，AO#8226;cos∠OAC=12AC.

解 ∵AB2=16，AC2=4，AB#8226;AC=112，

AB#8226;AO=|AB|#8226;|AO|#8226;cos∠OAB=|AB|#8226;12|AB|=8，

AC#8226;AO=|AC|#8226;|AO|#8226;cos∠OAC=|AC|#8226;12|AC|=2，

又 ∵AB#8226;AO=AB#8226;(xAB+yAC)

=xAB2+yAB#8226;AC=16x+112y，

AC#8226;AO=AC#8226;(xAB+yAC)=xAB#8226;AC+yAC2=112x+4y，

∴16x+112y=8，112x+4y=2.

解得x=2845，y=-1645.∴x+y=2845+-1645=415.