新課程理念下對向量教學的研究

【摘要】向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，向量引入對培養學生的數學能力，拓寬學生的思維空間有一定的現實意義.正確認識向量在數學教學中的地位與作用，需要我們在向量教學過程中把握向量的背景分析，把握向量在必修和選修中的教學要求，把握向量與其他數學內容的關系等.

【關鍵詞】向量；新課程

高中新課程在廣東實施有7年多了，在肯定新課程的同時，教師教學任務、學生課業負擔偏重等問題也引起了人們的關注.如何更好地遵循數學教學規律，切實提高數學課程改革的質量，是我們每一位關心教改的數學老師需認真反思與研究的問題.本文以向量這一新增內容為例，結合教材（江蘇版高中新教材）中一些問題的解讀，以近幾年來從事新教材教學的點滴感受，談談個人一些拙見，旨在拋磚引玉.

一、在向量教學過程中把握向量的背景

向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，正確認識向量在數學教學中的地位與作用對指導我們的教學十分重要.因此，我們要系統地、科學地研究課程標準中為什么要新增向量這一較難與中學教材主體融合的內容.

首先，向量是一個具有幾何和代數雙重身份的概念，同時向量代數所依附的線性代數是高等數學中一個完整的體系，具有良好的分析方法和完整結構.向量的引入，強化了學科內的綜合，培養了學生綜合運用數學知識的能力.雖然向量內容很難與中學教材主體融合，但向量貼近學生的學習與生活，直觀性強，與學生熟悉的幾何、三角等內容的聯系較為豐富，學生容易接受.教學中只要科學地引入向量內容，合理運用向量方法，辯證處理向量與其他數學內容的關系，并在教學中真正做到“有所為，有所不為”，那么，向量引入對培養學生的數學能力，拓寬學生的思維空間有一定的現實意義，也一定會取得預期的效果.

其次，課程標準不是簡單地將大學中的向量“移植”到中學.學生在高中力學等內容學習中將認識到，向量是一個重要的解決力學問題的工具.數學教學應該為學生更好地研究其他學科服務，培養跨學科綜合運用知識的能力.因此，新增向量內容符合課程改革的理念.

再次，我們更應看到，教材必須更好地體現科學進步與時代發展的要求，構建引導學生通向現代科學的大道.向量與高等數學中線性空間、向量場和微分幾何等密切聯系，向量是學習這些高等數學內容的基礎，而線性空間、微分幾何等內容在現代科學運用中非常廣泛.引入向量內容是時代發展的要求.

二、在向量教學過程中把握向量在必修和選修中的教學要求

1.課程內容比較

通過對比發現，向量的必修內容和選修內容本質上無區別，從必修到選修，只是“平面”到“空間”的拓展，但重點有所區別.向量的必修教材的教學更應注重向量的基礎知識和基本方法的應用，向量的選修教材的教學要突出向量方法在立體幾何問題中的應用.課程標準規定向量的必修內容和選修內容均安排12課時.因此，正確認識它們的教學重點必須建立在了解必修與選修要求的基礎上.

如：在“平面向量數量積a#8226;b的坐標表示”的教學中，首先從教材分析來看，“數量積a#8226;b的坐標表示”，必修教材上給出了a#8226;b=x1x2+y1y2的推導過程，并設計了必修4第79頁例2：已知a=(2，-1)，b=(3，-2)，求(3a-b)#8226;(a-2b).教材安排強調基礎.而選修教材上僅給出了a#8226;b=x1x2+y1y2+z1z2的證明，沒安排相應例題.由此也說明，必修重視基礎，選修重在應用.必修教學中要重視向量數量積a#8226;b的教學，也為“選修”教學做了基礎性的工作.我們在進行教學時會發現這種情況：有些教師不進行新的設計，直接給出必修教材上a#8226;b=x1x2+y1y2的推導過程，學生被動接受了平面向量數量積的坐標表示，對必修4教材第79頁例3“已知直線l1：x-2y=0和l2：x+3y=0，求直線l1和l2的夾角”，從這個例題的解題思路難以自我發現，再次被動接受教師的“傳授”.

在必修教材79頁例3中提取一個情景：

設A（0，0），B（2，-1），C（3，-2），求AB#8226;AC的值.學生發現，向量的長度可以求得，但夾角余弦難求，故公式AB#8226;AC=|AB|#8226;|AC|cosα難以應用.為此，繼續提出新問題：我們聯想到向量加、減的坐標表示，向量數乘是否也有坐標表示呢？如果有，剛才的問題“求AB#8226;AC”就不難解決了.

2.向量應用必修與選修教材的比較

方法方法簡單，體現基礎性方法靈活，綜合性強

從教材上例題選用數量及能力要求的不同進一步說明：向量在必修教材中的教學重點應放在“基礎”上，向量在選修教材中的教學重點應放在“應用”上.

表2說明“向量的應用”既要研究必修教材的要求，也要研究選修教材上這一內容的教學要求.如必修中三個例題的教學目標是什么？教學的要求是什么？向量應用（選修）為什么教材安排9個例題？難易度控制問題以及什么是教學重點、什么又是教學難點等問題，都要求我們系統研究，科學制訂教學計劃.

如何講透“向量的線性運算”是一個重要課題.作為基礎中的基礎，又是向量學習的開始階段，學生對這一內容學習的質量直接影響向量整體內容學習的質量，我們要高度重視，切不可草率了之.教材的設計很科學，讓學生在熟悉的平行四邊形的情景中，回味“向量的減法”的概念，然后進行簡單應用，在應用中體會基本概念、基本方法.教師應該根據例2，精心設計體現教材意圖的問題進行練習、鞏固.事實上，必修4教材P63練習題4，5也有同樣的意圖.然而有些教師沒有吃透教材，把例2看得太簡單化了，忘記了例2的功能，把注意力放在用向量差（和）來證明幾何問題，設計的問題與教材例2“形似”而“神不似”.學生學習難度增加，基礎內容也沒很好掌握.必修4第63頁練習題6是一個極簡單的幾何問題，主要訓練學生能將向量語言轉化為幾何語言，沒有增加學生學習的負擔，沒有干擾本節內容的重點，這樣的設計體現了課標要求.

三、在向量教學過程中全面把握向量與其他數學內容的關系

要正確把握向量的教學，還必須全面認識、深入研究向量與其他數學內容的關系，由此也有助于我們全面把握新教材的教學.

1.向量與平面幾何的關系

我們必須充分認識平面幾何是學習平面向量的重要載體，沒有平面幾何的載體，很難讓學生簡單明了地理解向量的一些概念.其次，簡單的平面幾何問題又是很好的訓練載體.平面幾何既是學習向量概念的載體，也是學習向量基本運用的載體.平面向量減法這一節中，必修4教材P62上的例2就通過平行四邊形這一載體來加強對概念的理解.教材63頁練習1～5題也是這樣設計的.可我們在教學中會發現，有些教師錯誤地把重點放在用向量證幾何問題上，不僅增加了學習負擔，也偏離了教學目標.向量方法研究簡單平面幾何的證明應在最后一節教學中完成，它是教材2.5節的難點，其教學目的在于學生體會向量方法，掌握簡單應用.因此，在2.1～2.4節教學中要充分認識到平面幾何是學習的一個重要載體，要精心設計，切不可越位，要“和風細雨”，要做到“潤物細無聲”.

用向量方法證平面幾何問題僅在教材P82向量的應用一節例2：已知OA⊥BC，OB⊥AC，求證：OC⊥AC.

由此可見，用向量證平面幾何問題主要是為了更深入地掌握平面向量的概念，其次才是初步體會向量方法的運用.課堂上傳授用向量法證“三角形三中線交于一點”等必然導致學生負擔偏重，教學效果適得其反的結果.我們一定要把握用平面向量方法證幾何問題的度.

2.向量與解析幾何的關系

用向量的坐標表示使向量與解析幾何建立了一定的聯系，也改變了解析幾何中一些傳統的研究方法.

如：為什么在教材中不提定比分點公式及其應用？定比分點公式是傳統解析幾何學習中一個難點，向量的引入可以“廢除”這一公式的“武功”，既減輕了學生學習負擔又培養了綜合運用數學知識的能力.在教學中仍發現我們有些老師沒有系統研究向量這一新增內容的地位與作用，仍補充“定比分點公式”應用，“教學內容”與新課程違背.還可以運用“向量的數量積”簡化解析幾何中兩直線夾角的計算.

必修4教材第79頁例3“已知直線l1：x-2y=0和l2：x+3y=0，求直線l1和l2的夾角”是一個很好的例題，同時也告訴我們由于向量的引入，傳統教材上兩直線的夾角公式就沒有多大應用價值了.因此在必修2“直線與方程”一節教學時我們不應補充夾角公式.

3.向量與立體幾何的關系

正確認識選修教材（2-1）空間向量應用的要求，可改進必修教材中“立體幾何初步”的教學.教材第73頁例1用向量法證線面平行，第87頁例1，第88頁例3用向量法證線線垂直，第88頁例2，第90頁例5用向量法證線面垂直，第92頁例2，例3，例4用向量法求線面角和面面角等，說明向量方法的引入簡化了傳統的立體幾何中一系列問題的解決方法，給學生以新的視野.

因此，課標認為空間向量的引入有積極的意義，為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具.讓學生進一步體會向量方法在研究幾何圖形中的應用，進一步發展空間想象能力和幾何直觀能力.

深刻領會選修教材中空間向量的教學思想，將改進我們必修教材中立體幾何初步的教學.因為，深刻領會選修要求，可以使我們系統地認識必修教材的編排意圖、必修教材的教學要求.由于選修中空間向量的應用中用向量方法較好地替代了傳統教材上立體幾何五類問題的求解方法，因此，在必修教材立體幾何初步的教學中要按照新教材的要求、新教材的思想，領會教學目標，設計教學過程，切不可離開課標自行補充傳統方法，否則將增加學生負擔，浪費教學時間，教學內容更偏離課標航線，基礎沒有打好，方法也沒有掌握.退一步講，你補充的傳統方法由于課時少，也只能是紙上談兵，學生不能真正掌握.

為此，由于向量的引入，傳統的立體幾何的教學要求必須改變，教學目標必須符合新課程標準.例如“三垂線定理”及其應用就沒有作為必修2的教學內容.關于線面平行、垂直關系的判定定理的證明必修2不作要求，均在選修2-1中用向量法加以證明.系統認識向量的必修與選修要求，對正確把握必修2“立體幾何初步”的教學要求非常重要.

4.向量與三角的關系

利用向量方法可研究解析幾何中兩直線夾角問題，用向量方法還可研究三角形中構造思想，也易于學生接受，對培養創新思維很有價值.必修4第2.5節練習題有關角的計算（包括垂直問題），如：必修4在3.1節用向量法給出了公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的證明方法，與傳統方法相比，向量法簡潔明了.必修4第2.5節6，7題是為3.1節用向量方法推導cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ作準備的.這也體現教材中向量方法在三角應用中的精心處理是“螺旋上升”的.

利用向量方法可以給出正弦定理、余弦定理的證明思路，必修5教材作了很好的設計.

深入研究向量的地位與作用，就是要求我們首先從整體的角度（必修、選修）來研究向量的教學要求，而不是僅僅是研究一節內容、一章內容、一本書內容.其次要求我們研究“向量方法”的價值，不僅僅停留在“三角”中應用、“解幾”中應用、“立幾”中應用，更要研究如何抓住數學本質，關注數學教改全局，運用科學方法減輕學生負擔，提高學生能力，培養學生綜合應用知識的能力，體現教學方式和學習方式的轉變.