剖析解題過程 暴露學生思維

從事數學課堂教學已接近十八年，作為一名常帶畢業班的教師，感覺到在數學第一輪復習及以前課堂教學中，常接觸到一個問題：一道數學題目評講過、練習過多次，可當再次出現時，還是有很多同學出錯，通過與老教師及同行不斷地探討及自己的反思，明白了其中的一些原因.課堂上的問題通常是封閉式的，它只有一個正確答案，而教師又容易滑進這么一條路：提出問題之后，就滔滔不絕地重述自己的知識，迫不及待地闡述自己對問題的看法，每一步都獲得學生的贊同與喝彩，卻總忽略了學生的獨立思考.課堂提問也不應有過多的指向性、暗示性，使問題變得窄化，而實際上，較好的方式應當把注意力放在激發學生的思維過程上，而不是急促地邁向結果.教師在課堂上應該提出具有挑戰性，同時又適合學生認知水平的問題，具有啟發性的問題.這樣的問題給學生廣闊的思維空間，教師應該因勢利導，挖掘其思維潛能，把問題引向縱深，使其能對問題進行推廣變換，以拓展知識，點燃學生思維創新.

在課堂上，教師經常采用的方法是借助于例題進行教學，用習題衡量學生掌握知識的情況，設計多種多樣的練習，促使學生將知識轉化為技能.而筆者由于剛開始教學，沒有足夠的教學經驗，在課堂上講例題及練習的過程中，通常以解完題目就感覺大功告成，沒有過于注意解題過程，忽略了解題后的研究以及適當的總結和歸納，使得學生只知到機械地模仿，而沒有掌握一道題目的內涵和它的結構及切入點如何分析更合理，從而增加了學生的負擔，盡管練得不少，但課堂效果欠佳，日積月累引發了上面問題的產生.

通過不斷的學習和總結，了解到在課堂上無論是講評例題還是習題，首先要讓學生進行思考，然后讓他們去說，不應該一開始就把教師事先的想法灌輸給學生，這樣不但達不到教學效果，反而會適得其反，因為“授之以魚，不如授之以漁”.所以在課堂上，一定要真正做到以學生為主體，一切活動以調動學生的積極性和主觀能動性為出發點，引導學生自主活動，使學生成為認知的主體.當然以學生為主體，并不是讓學生放任自流，教師要當好引導者，指導學生如何去發現和探索問題，教師要創設學習環境，創造民主、和諧的課堂氣氛，鼓勵學生討論、發表自己的意見、看法，哪怕是錯誤的.充分讓學生參與教學，互相討論，互相啟迪.由于給學生足夠的創新、實踐、深入思考的時間和空間，充分暴露學生的思維，讓其自行發生“碰撞”，越“碰撞”猛烈，認識就越深刻，從而達到比較好的學習效果.

以下幾例就是在復習時運用上述感悟在課堂教學中實施時遇到的幾個實例，收獲很大.

一、在復習“集合”中

例1 集合A＝｛x︱ax2-2x＋a＝0｝中只有一個元素，求實數a的取值范圍.

先讓學生談思路：因為只有一個元素，又是一道一元二次方程，所以只要Δ＝b2-4ac＝0，即4-4a2＝0，所以解得a＝±1.筆者在此沒有強調該方程的類別（是一元一次還是一元二次），學生也沒有提及，這使筆者為下面的題目設下了很好的“伏筆”.集合M＝｛x|kx＝1｝，N＝｛x|x2＝1｝，若M是N的真子集，求實數k的取值.先找了一位學生甲，在黑板上板演例1，如下：

解 ∵只有一個元素，∴Δ＝b2-4ac＝0，即4-4a2＝0，所以解得a＝±1.

答完后學生欣然走回座位，并且得到了大部分同學的認可，而這種解法恰是筆者預料到的典型錯誤，正好點評.筆者給予適當的引導，問學生：方程ax2-2x＋a＝0是一元二次方程，還是一元一次方程？有的學生答是一元二次方程還有的學生答是一元一次方程，那么到底是一元二次方程還是一元一次方程要分析清楚.由于x2前含字母a，應分a＝0與a≠0進行討論，并對分類討論的思想進行回顧，讓學生明白何時分類，如何分類.通過教師適時點撥，學生明白了造成錯誤的原因.然后又喊學生乙去做下一道習題，發現該生能順利、正確地完成.這樣通過以上學生的思維暴露及學生共同參與，既解決了問題，又使得學生對以前學過的知識在運用條件的某些細節有了更深層的認識.

二、在復習“指數函數、對數函數”中

例2 已知f（x）=3x2-2x-1.（1）求函數f（x）的定義域、值域；（2）確定函數f（x）的單調區間.

對我們教師而言，輕易就可看出這是一個復合函數的問題，因此可將函數分解成為我們熟悉的函數如二次函數、指數函數、對數函數等，利用這些熟悉的函數相應的性質來解決問題.

解 f（x）=3u，令u=x2-2x-1，則f（x）=3u.（1）由u=x2-2x-1=（x-1）2-2，當x∈R時，u≥-2，此時函數f（x）=3u，總有意義，所以函數f（x）定義域為R.又由u≥-2，所以3u≥19，所以原函數的值域為19，+∞.（2）u=x2-2x-1在［1，+∞）遞增，所以對于任意的1≤x1≤x2都有u1≤u2，所以有3u1≤3u2，即y1≤y2，所以函數f（x）=3x2-2x-1在［1，+∞）遞增.同理可得函數f（x）=3x2-2x-1在（-∞，1）上單調遞減.但對我們職業中學的學生數學基礎來言未必能像我們教師這樣很快切入到問題的核心，這就要求老師在復習時，充分調動學生的積極性、主動性，花點時間讓學生思考再組織他們互相交流，讓學生在解題過程中充分體現他們的思想.對于發生的錯誤、產生的障礙，教師要逐一剖析，及時糾正.只有加深印象，親身參與其中，有了自己的體會、感知，才能獲得真知，靈活運用.

三、在復習“三角函數”中

例3 求函數y＝sin2x-sinx＋1的最大值與最小值.

將函數轉化為基本初等函數，應用基本初等函數的性質，并結合配方法，均值不等式是函數求最值的一般方法.筆者先找學生甲板演，采用的是直接法求解.

解法一 y＝sin2x-sinx＋1＝sin2x-sinx＋14＋34＝sinx-122+34，∴ymax＝3，ymin＝34.

學生乙采用換元法：

解法二 令t＝sinx，∴t∈［-1，1］，則y＝t2-t＋1＝t-12＋34，t∈［-1，1］，則f（-1）＝3，f（1）＝1，f12＝34，∴ymax＝3，ymin＝34.通過兩位學生的思考，采用不同的方法求解，加深了學生對一題多解的認識、比較，從中選出最優解.

總之，教師在課堂上剖析解題過程，暴露學生思維，激發學生學習的積極性，可有效地提高學生數學學習的能力，使學生深化對數學的認識和理解，努力培養學生對數學的應用意識及解題能力，提高學生的數學素養和綜合素質.