Shibor利率跳躍擴(kuò)散模型的參數(shù)估計(jì)與蒙特卡羅模擬檢驗(yàn)

【摘要】Shibor是央行培養(yǎng)的中國貨幣市場基準(zhǔn)利率體系，能夠準(zhǔn)確的模擬基準(zhǔn)利率Shibor的動(dòng)態(tài)變化特征，對利率衍生品定價(jià)與利率風(fēng)險(xiǎn)管理都具有重要意義。我們對CKLS模型、CKLS-Jump跳躍擴(kuò)散模型、帶隨機(jī)波動(dòng)率的CKLS-Jump-SV模型和帶跳躍隨機(jī)波動(dòng)率的CKLS-SV-Jump模型進(jìn)行自適應(yīng)MCMC參數(shù)估計(jì)，結(jié)果表明CKLS-SV-Jump模型能夠最有效的刻畫出Shibor的利率動(dòng)態(tài)變化特征；我們對北京銀行7天Shibor掛鉤債券進(jìn)行蒙特卡羅數(shù)值計(jì)算，研究表明CKLS-Jump-SV模型能夠很好的提供利率衍生品定價(jià)的利率路徑模擬。

【關(guān)鍵詞】Shibor 跳躍擴(kuò)散 隨機(jī)波動(dòng)率 自適應(yīng)MCMC 蒙特卡羅模擬

一、引言

Shibor是央行培育的中國貨幣市場基準(zhǔn)利率體系，研究Shibor及其利率期限結(jié)構(gòu)，對其進(jìn)行利率建模，能夠有效刻畫出其利率動(dòng)態(tài)變化的特征，進(jìn)而對利率的未來變動(dòng)進(jìn)行科學(xué)的預(yù)測，不管是對以利率衍生品定價(jià)還是利率風(fēng)險(xiǎn)管理，都起著重要的作用。在利率動(dòng)態(tài)模型方面，基本利率動(dòng)態(tài)模型主要有Merton(1973)、Vasicek(1977)、CIR(Cox，Ingersoll和Ross)(1985)、和CKLS(Chan，Karolyi，Longstaff和Sanders)(1992)等。Chan等提出的CKLS模型則為不同的利率期限結(jié)構(gòu)建立了一個(gè)共同框架利率模型，但其利率模型只描述了利率漂移項(xiàng)的均值回復(fù)和利率擴(kuò)散項(xiàng)的水平效應(yīng)。Merton(1976)在標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)中加入跳躍項(xiàng)來描述金融市場中可能發(fā)生的如股市崩盤、中央銀行或貨幣當(dāng)局的干預(yù)、外匯市場的沖擊以及其他金融市場事件等而引起的不連續(xù)變化，隨后也有學(xué)者，如Das(2002)，ChenScott(2002)等的各方面研究表明在基本利率動(dòng)態(tài)模型和跳躍擴(kuò)散模型中加入隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)來描述資產(chǎn)價(jià)格（利率）波動(dòng)項(xiàng)的波動(dòng)率時(shí)變特征。

二、模型與數(shù)據(jù)

本文擬建立的Shibor模型能夠全面的包含利率模型均值回復(fù)、水平效應(yīng)、跳躍效應(yīng)和隨機(jī)波動(dòng)率時(shí)變特征，其發(fā)展思路如下：

1992年，CKLS(Chan，Karolyi，Longstaff和Sanders)(1992)等研究了一個(gè)一般模型，將Vasicek(1977)，CIR(1985)模型都納入了這一模型的框架之下，我們則將CKLS模型表示為:

（2.14）

隨后，有Hong，Lin，Wang等（2010）涉及了CKLS-Jump模型，其中跳躍因子中的跳躍時(shí)間服從泊松分布，跳躍幅度服從正態(tài)分布，我們將其表示為：

（2.15）

為了更加準(zhǔn)確的描述利率動(dòng)態(tài)模型中的隨機(jī)波動(dòng)率時(shí)變特征，本文參考Das(2002)，Andersen，BenzoniLund(2004)，將CKLS-Jump-SV模型表示為：

（2.16）

其中，；；服從頻率為 的泊松分布，其中，。

考慮到隨機(jī)波動(dòng)率的跳躍效應(yīng)，本文參考Das(2002)，Andersen，BenzoniLund(2004)， Davide Raggi(2005)，周彥，張世英，張彤（2006），將CKLS-SV-Jump模型表示為：

（2.17）

本文的數(shù)據(jù)按照相關(guān)性、平穩(wěn)性、交易量是數(shù)據(jù)選擇原則，分別比較隔夜Shibor（Shibor_0/N）、1周Shibor（Shibor_1W）、2周Shibor（Shibor_2W）、1月Shibor（Shibor_1M）、3月Shibor（Shibor_3M）。由于Shibor在2007年1月4日起開始運(yùn)行，選取2007.1.4-2011.2.28的日度數(shù)據(jù)，總共1517天，交易日共有1037個(gè)樣本觀測值，并經(jīng)過缺失值補(bǔ)齊與單利轉(zhuǎn)復(fù)利的變化。

（一）相關(guān)性原則下的數(shù)據(jù)選擇

表1 各期限Shibor品種之間的相關(guān)系數(shù)

從表1可以看出：Shibor_1W、Shibor_2W與其他期限利率的相關(guān)性最高。從相關(guān)性原則看，Shibor_1W與Shibor_2W可以作為合理的數(shù)據(jù)選擇。

（二）平穩(wěn)性原則下的數(shù)據(jù)選擇

通過ADF檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，Shibor_0/N、Shibor_1W、Shibor_2W在1%、5%、10%置信水平下是平穩(wěn)的時(shí)間序列，而Shibor_1M、Shibor_3M是非平穩(wěn)的，一階差分后各期限Shibor都是平穩(wěn)的時(shí)間序列。從平穩(wěn)性原則看，Shibor_0/N、Shibor_1W、Shibor_2W是更好的數(shù)據(jù)選擇。

表2 各期限Shibor利率的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

表3 一階差分后的各期限Shibor利率的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

（三）交易量原則下的數(shù)據(jù)選擇

從銀行間各期限品種拆借成交情況看，隨著交易期限的增加，交易金額大致是逐漸減少的。從歷史交易量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，Shibor_0/N與Shibor_1W是更好的數(shù)據(jù)選擇。

綜上所述，我們選擇一周Shibor（Shibor_1W）作為本文Shibor利率模型的數(shù)據(jù)選擇，下面給出隔夜Shibor、一周Shibor，以及其一階差分的描述性統(tǒng)計(jì)量及其時(shí)間序列走勢圖。

圖 4-17天Shibor時(shí)間序列走勢圖

圖 4-27天Shibor一階差分的時(shí)間序列走勢圖

三、MCMC參數(shù)估計(jì)與蒙特卡羅模擬

我們分別將每個(gè)模型迭代100000次，然后將前面d=12000次迭代值舍去，可以有各模型離散化的表達(dá)方式：

CKLS模型： （5.1）

CKLS-Jump模型：（5.2）

CKLS-Jump-SV模型：

（5.3）

CKLS-Jump-SV模型的離散化可以表示為：

（5.4）

（一）MCMC參數(shù)估計(jì)結(jié)果

我們可以看出CKLS-SV-Jump模型能夠全面的描述利率的均值回復(fù)、水平效應(yīng)、跳躍效應(yīng)與隨機(jī)波動(dòng)率特征；CKLS-Jump-SV模型的隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)加大了模型的跳躍幅度，減小了利率的均值回復(fù)效應(yīng)與水平效應(yīng)，在隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)中加入跳躍項(xiàng)的CKLS-SV-Jump模型能夠減小隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)對利率均值回復(fù)與水平效應(yīng)的影響，且隨機(jī)波動(dòng)率存在明顯的跳躍效應(yīng)。

下圖是各模型模擬Shibor的歷史走勢圖且與真實(shí)值之間的離差圖，我們可以看出CKLS-SV-Jump模型能夠最好的描述Shibor的利率動(dòng)態(tài)變化特征。

（二）模型的蒙特卡羅模擬實(shí)證

我們對北京銀行7天Shibor掛鉤觸發(fā)式結(jié)構(gòu)性利率債券進(jìn)行定價(jià)模擬，它的價(jià)值包括固定收益?zhèn)驼系K期權(quán)兩部分，固定收益部分的價(jià)值通過模型得出利率的預(yù)測值計(jì)算，障礙期權(quán)的部分通過蒙特卡羅模擬對偶變量技術(shù)來進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

1.固定收益部分的價(jià)值

本產(chǎn)品的固定收益部分的零息債券，其價(jià)值按照如下公式：

（5.1）

其中，B為零息債券價(jià)格；m為距下次付息日的天數(shù)；P為債券面值；i為折現(xiàn)率。由于該種觸發(fā)式結(jié)構(gòu)化利率債券的存續(xù)期只有7天，所以流動(dòng)性溢價(jià)、通貨膨脹溢價(jià)很低，這里折現(xiàn)率就主要是基準(zhǔn)利率和信用差價(jià)之和。（1）基準(zhǔn)利率的確定。由于該種觸發(fā)式結(jié)構(gòu)性利率債券的存續(xù)期只有7天，我們以7天Shibor作為基準(zhǔn)利率，并將其轉(zhuǎn)換成連續(xù)復(fù)利。其中，利率模擬的模型由利率跳躍擴(kuò)散模型和波動(dòng)率過程兩部分組成，在已經(jīng)知道了波動(dòng)率模型的初始參數(shù)，并通過MCMC參數(shù)估計(jì)中M-H自適應(yīng)算法的改進(jìn)方法估計(jì)出CKLS-SV-Jump模型的各個(gè)參數(shù)，代入三天募集期的Shibor數(shù)據(jù)后取利率到期日的模擬值算術(shù)平均值；（2）信用價(jià)差的確定。Merrill Lynch公司顯示，債券的期限為1-3年，在信用級別為AAA、AA、A、BBB、BB、B時(shí)，信用價(jià)差分別為49.50、58.97、88.82、168.99、421.2、760.84個(gè)基點(diǎn)。根據(jù)《大公中國銀行業(yè)2009年信用評級》的報(bào)告，北京銀行的信用等級為AA級，因此北京銀行的觸發(fā)式結(jié)構(gòu)化利率債券的折現(xiàn)率應(yīng)該在基準(zhǔn)利率的基礎(chǔ)上增加58.97個(gè)基點(diǎn)。

2.期權(quán)部分的價(jià)值

以正態(tài)分布為例，蒙特卡羅模擬對偶變量技術(shù)首先可以從正態(tài)分布變量中隨機(jī)抽取N個(gè)樣本值，分別為Zi(i=1，2，...，N)，由此可以得到N個(gè)模擬值Ci（i=1，2，...，N），那么衍生證券蒙特卡羅模擬估計(jì)值為

構(gòu)造對偶隨機(jī)數(shù)，Zi(i=1，2，...，N)相互對偶的隨機(jī)數(shù)，由正態(tài)分布性質(zhì)可知， (i=1，2，...，N)，也是服從正態(tài)分布，由對偶隨機(jī)數(shù)生成的估計(jì)值為

對和取平均得到的估計(jì)值

3.該觸發(fā)性結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品的整體價(jià)值

根據(jù)上文分析，零息債券的價(jià)值為99883.5983，期權(quán)部分價(jià)值在蒙特卡羅模擬對偶控制變量技術(shù)下經(jīng)過20000次模擬得到的價(jià)值為82.4469。所以，該產(chǎn)品的理論價(jià)值為上述兩價(jià)值之和，即為99966.0452，該值小于其面值100000。所以投資者如果購買該產(chǎn)品，無法達(dá)到資產(chǎn)保值的效果，還面臨投資一定的投資風(fēng)險(xiǎn)損失33.9548。

四、本文的主要結(jié)論

我們的研究結(jié)果表明CKLS-SV-Jump模型能夠最全面的描述我國Shibor的利率動(dòng)態(tài)變化特征，并運(yùn)用蒙特卡羅模擬對偶變量技術(shù)對北京銀行Shibor掛鉤觸發(fā)式結(jié)構(gòu)性利率債券進(jìn)行定價(jià)模擬，認(rèn)為CKLS-SV-Jump模型能夠很好的提供利率模擬路徑。

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基金項(xiàng)目：本文受教育部人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目“商業(yè)銀行利率隱含期權(quán)定價(jià)的蒙特卡羅模擬方法研究”（09YJA79019）、浙江省大學(xué)生科技成果推廣項(xiàng)目“Shibor利率跳躍擴(kuò)散模型的參數(shù)估計(jì)與蒙特卡羅模擬檢驗(yàn)”（2010R414041）資助。

作者簡介：潘璐（1988-），女，浙江青田人，浙江財(cái)經(jīng)學(xué)院金融學(xué)院碩士研究生，研究方向：金融工程研究；馬俊海（1964-），男，山西平陸人，浙江大學(xué)城市學(xué)院商學(xué)院教授，博士，研究方向：金融工程研究。