初中學生數學思維能力培養的探究

數學教育不僅要求教學生掌握一些數理知識、數形知識，更注重的是學生思維能力的培養，教給學生判斷、分析、理解和運用數學知識的一把鑰匙．新的《初中數學課程標準》提出：將“培養初步的邏輯思維能力”改為“培養初步的思維能力”．這也表明數學新課程體系已革新了傳統的課程體系，從傳輸數學知識逐漸轉向以學生為中心培養學生的思維能力．著名數學教育家鄭毓信說過：“相對于具體的數學知識內容而言，思維訓練顯然更為重要．”因此，培養數學思維能力是新課程標準的要求，更是社會發展的需要．

那么，在初中數學教學中，怎樣才是培養學生思維能力的有效手段？

一、巧設問題，激發思維

“成功的教學，需要的不是強制，而是激發學生興趣，自覺地啟動思維的閘門”．亞里士多德說過：“人的思維是從質疑開始的．”一切知識的獲得，大多從發問而來．愛因斯坦說過：“提出問題往往比解決一個問題更重要．”一個人如果發現不了問題，也提不出問題，就很難成為創造性的人才．事實上，有疑方能創新，小疑則小進，大疑則大進．思源于疑，沒有問題就無以思維．因此在教學中，教師要通過提出啟發性問題或質疑性問題，給學生創造良好的環境，讓學生經過思考、分析、比較來加深對知識的理解．

例如，在復習三角形、平行四邊形、梯形面積時，要求學生想象：如果把梯形的上底變得與下底一樣長，這時梯形變成了什么圖形?與原梯形的面積有什么關系?如果把梯形上底長縮短為0，這時梯形又變成了什么圖形?與原梯形面積又有什么關系?問題一提出，學生想象的閘門便打開了：三角形可以看做是上底為0的梯形，平行四邊形可以看做是上底和下底相等的梯形．這樣拓寬了學生思維的空間，加深了學生對三角形、平行四邊形、梯形的形狀變換的關系的理解，培養了學生想象的思維能力．

又如，在復習全等三角形與相似三角形的性質比較時，要求學生思考：如果兩相似三角形的相似比等于1，兩相似三角形在形狀、大小方面有什么關系？學生便會七嘴八舌，很快就知道：全等三角形是相似比等于1的相似三角形．因此相似三角形有的性質，全等三角形都有，而全等三角形有的性質，相似三角形不一定有．通過類比也可以拓展學生的思維空間，培養學生的思維能力．

二、創設情境，激發興趣，啟發思維

所謂情境是指為落實教學目標所設定的學習背景和學習活動的環境．它能引發學生強烈的好奇心和求知欲，有助于學生思維能力的提高．而“情境教學法”是指在教學過程中，教師有目的地引入或創設以形象為主的、生動具體的場景，使學生獲得一定的體驗，從而更好地理解教材，得到良好發展的方法．

例如，圖形變換中的平移、對稱和位似等，選定平移的方向，確定每次平移的距離，確定位似的位似比，都能得到許許多多精美的圖案，讓學生身臨于欣賞美的情境，還可以嘗試把這些圖案運用到美術創作、生活空間的設計中，使他們產生創造圖形美的欲望，使他們對數學能維持長久的思維興趣．

這樣教學，才能逐步培養學生能夠有條理有根據地進行觀察思考、動腦筋想問題，學生才會質疑問難，才能提出自己的獨立見解，從而培養學生思維的敏捷性和靈活性．

三、營造愉悅的氛圍，培養思維能力

在傳統的教學中，教學關系就是“我講，你聽；我問，你答”．新的教學觀認為：課堂教學過程絕不再是“教師講、學生聽”的單一的教學過程，也不只是教師向學生“奉送”知識的過程.教學應該是教師的教與學生的學的統一，這種統一的實質是師生交談和互動，鼓勵和幫助學生自己去探索和去發現的過程，是學生發揮主觀能動性的過程．教師應努力營造愉悅、和諧的課堂氛圍，使每個學生都有學習的欲望．

如，講解新人教版九年級第23章《圖形的旋轉》中，當我和學生探究出圖形的旋轉概念后，為了加深學生對圖形的旋轉概念的理解，我設計了一個問題：由“基本圖形或基本圖案”給出不同的角度繞某一點旋轉，請同學們根據圖形旋轉的概念作一個圖形，看誰的又好又有創意．學生興致勃勃，馬上投入到了緊張的創作之中.很多學生設計出的幾何圖形新穎、獨特、精巧、別致，讓人震驚，最后我還讓學生評出了最佳作圖和最佳創意設計獎，課堂氛圍活躍，學生個個躍躍欲試，暢所欲言．可見，和諧愉悅的學習氛圍是激發學生思維活動的催化劑，能讓學生迸發出智慧的火花，創造性地解決問題．

四、廣開思路，培養發散思維

“一題多變”是培養學生發散思維和思維靈活的有效方法，它能使學生的思維能力隨問題的不斷變換而得以提高，有效地促進學生的思維活動．通過一題多解的訓練，學生可以多角度、多途徑尋求解決問題的方法，開拓解題思路，并從多種解法的對比中選最佳解法，總結解題規律，使分析問題、解決問題的能力提高，使思維的發散性和創造性增強．

【例1】 在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點，連結BD，過A作BD的垂線交BC于E，連結DE，如圖1.

求證:∠ADB＝∠CDE.

分析:證角的相等和證線段相等一樣，也可以試用全等形，但為了構造全等形不致盲目，應盡量利用現成的等邊和等角關系，例如在本題中，容易看出兩組等量關系：

AB＝AC；AE⊥BDα=β.

利用它們可以構造全等形，使欲證的等角關系集中在一起，依此有以下證法.

證法1：構造全等形（Ⅰ）.

在α處構造一個與直角三角形ABD全等的三角形.

為此，自C作AC的垂線交直線AE于F，如圖2，則

證法2：構造全等形（Ⅱ）.

因AD＝DC，故亦可在AD上構造一個與△CDE全等的三角形.又因∠C＝45°，故應作∠A的平分線，設它與BD交于G.如圖3.

我們本是想作△CDE的全等形，但卻先得出了以α、β為一雙對應角的全等形，正好為我們的目標架起了一座橋，這時，容易看出：

△ABG≌△ACE，

∴AG＝CE，

而AD＝DC，∠DAG＝∠C＝45°，

∴△AGD≌△CED，

∴∠ADG＝∠CDE.

回顧證明過程，為證“△AGD≌△CED”，先證一對輔助全等形，若想在證明中省略它以求簡化，就需要分析欲證的兩個全等形有何特性.此時看到二者關于AC的中垂線對稱，只需證出GE∥AC方可.對此再細心考察，就會發現一個巧妙的證法.即有證法3.

證法3：妙用垂心.

過A作BC的垂線交BD于G、交BC于H.如圖4.

∵AH⊥BE，BG⊥AE，∴G為△ABE的垂心.

∴EG⊥AB，又AC⊥AB，

∴EG∥AC.又∠GAC＝∠C，

∴四邊形AGEC為等腰梯形.

∴∠ADG＝∠CDE.

本題中的條件也有中點.因此，既然可以利用垂心，又為何不可利用重心?若能設法使欲證的等角成對稱形式，就可發揮重心的作用.

證法4：巧作重心.

為使E成重心，先取BC的中點M，如圖5，再連結AM并延長至K，使MK＝AM.則

△ACK也是等腰Rt△.

而且此等腰Rt△ACK可以看成原△ABC繞點M旋轉90°而成，故延長AE交CK于F，則F是由D點旋轉而得，故F是CK的中點.

即在△ACK中，

AF、CM是兩條中線，

故點E是△ACK的重心，

故點E必在另一中線KD上.

易知：△CDK≌△ADB.

這樣既證出了∠ADB＝∠CDE，又使它們處于對稱的位置.

證法5：造就相似形.

如圖6，過點E作EG⊥AC于G.

顯然，在Rt△ADB中，AD∶AB＝1∶2.

現計算Rt△GDE中的兩直角邊之比.

易知△GAE∽△ABD，又BA＝2AD，

∴AG=2GE，又GE=GC，

∴AC=3EG.即AG=23AC.

DG=AG-AD=23AC-12AC=16AC，

∴EG∶DG＝2∶1＝AB∶AD，

∴△EGD∽△BAD，∴∠CDE＝∠ADB.

通過此例可見，教師在平時的教學中，不但要教會學生常規解題的方法，還要向學生提出一題多解的要求．一題多解不僅能復習較多的知識，激發學生的學習興趣，而且能培養學生多角度地分析問題，得出多種解題方法，更能活躍學生的數學思維，充分挖掘問題的本質，使學生的發散性思維得到充分的訓練和培養．

五、加強逆向思維訓練，開發思維能力

所謂逆向思維就是反過來想，有意識地從相反的角度去思考問題的思維方式．這種思維方式看似荒唐，實際上是一種奇特而又美妙的思維方法，它能激發學生的興趣，啟發學生思考，變被動接受為主動探索，還可以開發學生的思維能力，開拓學生視野，大膽創新．因此，在課堂教學中要有意識地培養學生的逆向思維．

【例2】 已知三個關于m的一元二次方程：m2―2m―2a+3=0，m2+（2a－1）m+a2=0，m2+（a－1）m+94=0至少有一個方程有實數根，試求a的取值范圍.

分析：若從正面來思考，問題比較復雜，考慮到“三個方程至少有一個方程有實數根”的反面是“三個方程都沒有實數根”，再由根的判別式就可以求解．

解：若三個方程都沒有實數根，則

這樣，當a≤14或a≥1時，三個方程中至少有一個方程有實數根．

六、觸類旁通巧思，培養學生的思維能力

“苦思冥想”固然需要，但“巧思”兩字不可少．熟能生巧，學生對所學知識融會貫通是“巧思的基礎”，而教師也應不失時機，通過典型的實例經常給學生介紹一些解題的方法和技巧，然后有針對性地匯編一些習題讓學生在親身實踐中尋求變通，悟出其中的來龍去脈，掌握科學的解題法則．那么，“觸類旁通”的“巧思”也一定會順其自然而產生．只有讓學生的思維在“巧”字上下工夫，才能取得“事半功倍”的良好效果，學生的思維在不斷的展開中才能得到充分的訓練和培養．

【例3】 如圖7，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA＝OB，CA＝CB．求證直線AB是⊙O的切線.

證明：連接OC.

∵OA＝OB，CA＝CB，

∴△OAB是等腰三角形，OC是底邊AB上的中線.

∴OC⊥AB.

∴AB是⊙O的切線.

【例4】 如圖8，ON是∠AOB的角平分線，M是ON上的一點，⊙M與OB相切于點C，求證OA是⊙M的切線.

證明：過點M作MD⊥OA，垂足為D.

∵點M在∠AOB的角平分線上，

∴MD＝MC.

∵OB切⊙M于C，

∴MC是⊙M的半徑.

∴MD也等于⊙M的半徑.

∴OA是⊙M的切線.

以上兩題輔助線的作法，取決于所證直線與圓是否有公共點.于是得出規律:有公共點則“作半徑，證垂直”，無公共點則“作垂線段，證相等”.

用規律解題，思維線路短，過程簡單，大大提高解題的速度，并達到觸類旁通、融會貫通之效．

總之，培養學生數學思維能力是新課程標準的要求，也是社會發展的需要．因此教師既要提供讓學生展開思維的空間，激發其思維的活躍性，還要巧于點撥，鼓勵學生勇于開拓創新．只有如此學生的思維才能得到激發，學生創新的火花才能點燃．

參考文獻

［1］王貴林，陳洵編.心理學教程［M］.廣州：廣東高等教育出版社，2005.

［2］李長明，周煥山.初等數學研究［M］.北京：高等教育出版社，1995.

（責任編輯 金 鈴）

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