直線的平移

【摘要】平移是從方法論上對(duì)數(shù)學(xué)解題的一種界定，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用廣泛，本文擬通過(guò)平移研究解決學(xué)生在此問(wèn)題上的學(xué)習(xí)困惑

【關(guān)鍵詞】直線；平移；上下；左右；任意方向

圖形的平移是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種操作方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中常常涉及到圖形的平移，如初中數(shù)學(xué)中函數(shù)圖像的平移，很多學(xué)生往往容易混淆，造成學(xué)習(xí)困難，現(xiàn)就直線的平移做如下探究：

一、上、下平移

例：將直線y=2x-1向上平移3個(gè)單位，得y=2x-1+3，即y=2x+2。

將直線y=2x-1向下平移2個(gè)單位，得y=2x-1-2，即y=2x-3。

此種類(lèi)型較為符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，容易掌握，總結(jié)規(guī)律如下：

將直線y=kx+b 向上平移m個(gè)單位，得：y=kx+b+m

將直線y=kx+b 向下平移 m個(gè)單位，得：y=kx+b-m

二、左、右平移

① 探索：將直線y=2x向右平移1個(gè)單位，得y=2(x-1)，即y=2x-2 。

發(fā)現(xiàn)：相當(dāng)于將直線向下平移了2個(gè)單位。

將直線y=x-1向右平移2個(gè)單位，得y=(x-2)-1，即y=

x-2。

發(fā)現(xiàn)：相當(dāng)于將直線向下平移了1個(gè)單位。

總結(jié)：將直線y=kx+b向右平移m個(gè)單位，得y=k(x-m)+b，即y=kx+b-km。 相當(dāng)于將直線向下平移km個(gè)單位。

②探索:將直線y=x+1向左平移3個(gè)單位，得y=(x+3)+1，即y=x+2。

發(fā)現(xiàn)：相當(dāng)于將直線向上平移了1個(gè)單位。

將直線y=x-2向左平移4個(gè)單位，得y=(x+4)-2，即y=x。

發(fā)現(xiàn)：相當(dāng)于將直線向上平移2個(gè)單位。

總結(jié)：將直線y=kx+b向左平移n個(gè)單位，得y=k(x+n)+b，即y=kx+b+kn，

相當(dāng)于將直線向上平移kn個(gè)單位。

三、任意方向平移

① 探索：將直線y=2x+1沿與x軸正方向成30°角方向平移4個(gè)單位（如圖）

觀察圖象發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)于將直線上所有點(diǎn)先向右平移2

（4cos30°）個(gè)單位，在向上平移2（4sin30°）個(gè)單位，即點(diǎn)A平移后的坐標(biāo)為（2-，2），點(diǎn)B平移后的坐標(biāo)為（2，3），求得平移后的直線解析式為：y=2x+3-4 ，即：y=2x+1-(4

-2)，相當(dāng)于將直線y=2x+1向下平移（4 -2）（2×4cos30°-4sin30°）個(gè)單位。

總結(jié)：將直線y=kx+b沿與x 軸正方向成α（0°﹤α﹤90°）度的角平移m個(gè)單位，得：Y=k(x-m×cosα)+b+m×sinα，即y=kx+b-(k×m×cosα-m×sinα)，相當(dāng)于將直線向下平移(k×m×cosα-m×sinα)個(gè)單位。

②將直線y=kx+b沿與x軸正方向成α（90°﹤α﹤180°）度角的方向平移m個(gè)單位。（如圖）

觀察圖象發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)于將直線先向左平移m×cos(180°-α)個(gè)單位，再向上平移m×sin(180°-α)個(gè)單位，得：Y=k[x+m×cos(180°-α)]+b+m×sin(180°-α)即y=kx+b+[k×m×cos(180°-α)+m×sin(180°-α)]，相當(dāng)于將直線向上平移[k×m×cos(180°-α)+m×sin(180°-α)]個(gè)單位。

其實(shí)，根據(jù)圖形平移的性質(zhì)，平移后的直線與原直線仍是互相平行的，即k不發(fā)生變化，只有b 發(fā)生了變化，即直線的平移都可以看成是由上、下兩種平移方法構(gòu)成的。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]叢遠(yuǎn)林; 平移直線，解決一類(lèi)中考?jí)狠S題[J]. 初中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2010年12期

（作者單位：江蘇省姜堰市沈高初級(jí)中學(xué)）

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”