直線的平移

【摘要】平移是從方法論上對數學解題的一種界定，在初中數學教學中應用廣泛，本文擬通過平移研究解決學生在此問題上的學習困惑

【關鍵詞】直線；平移；上下；左右；任意方向

圖形的平移是中學數學中常用的一種操作方法，在中學數學的學習過程中常常涉及到圖形的平移，如初中數學中函數圖像的平移，很多學生往往容易混淆，造成學習困難，現就直線的平移做如下探究：

一、上、下平移

例：將直線y=2x-1向上平移3個單位，得y=2x-1+3，即y=2x+2。

將直線y=2x-1向下平移2個單位，得y=2x-1-2，即y=2x-3。

此種類型較為符合學生的認知特點，容易掌握，總結規律如下：

將直線y=kx+b 向上平移m個單位，得：y=kx+b+m

將直線y=kx+b 向下平移 m個單位，得：y=kx+b-m

二、左、右平移

① 探索：將直線y=2x向右平移1個單位，得y=2(x-1)，即y=2x-2 。

發現：相當于將直線向下平移了2個單位。

將直線y=x-1向右平移2個單位，得y=(x-2)-1，即y=

x-2。

發現：相當于將直線向下平移了1個單位。

總結：將直線y=kx+b向右平移m個單位，得y=k(x-m)+b，即y=kx+b-km。 相當于將直線向下平移km個單位。

②探索:將直線y=x+1向左平移3個單位，得y=(x+3)+1，即y=x+2。

發現：相當于將直線向上平移了1個單位。

將直線y=x-2向左平移4個單位，得y=(x+4)-2，即y=x。

發現：相當于將直線向上平移2個單位。

總結：將直線y=kx+b向左平移n個單位，得y=k(x+n)+b，即y=kx+b+kn，

相當于將直線向上平移kn個單位。

三、任意方向平移

① 探索：將直線y=2x+1沿與x軸正方向成30°角方向平移4個單位（如圖）

觀察圖象發現，相當于將直線上所有點先向右平移2

（4cos30°）個單位，在向上平移2（4sin30°）個單位，即點A平移后的坐標為（2-，2），點B平移后的坐標為（2，3），求得平移后的直線解析式為：y=2x+3-4 ，即：y=2x+1-(4

-2)，相當于將直線y=2x+1向下平移（4 -2）（2×4cos30°-4sin30°）個單位。

總結：將直線y=kx+b沿與x 軸正方向成α（0°﹤α﹤90°）度的角平移m個單位，得：Y=k(x-m×cosα)+b+m×sinα，即y=kx+b-(k×m×cosα-m×sinα)，相當于將直線向下平移(k×m×cosα-m×sinα)個單位。

②將直線y=kx+b沿與x軸正方向成α（90°﹤α﹤180°）度角的方向平移m個單位。（如圖）

觀察圖象發現，相當于將直線先向左平移m×cos(180°-α)個單位，再向上平移m×sin(180°-α)個單位，得：Y=k[x+m×cos(180°-α)]+b+m×sin(180°-α)即y=kx+b+[k×m×cos(180°-α)+m×sin(180°-α)]，相當于將直線向上平移[k×m×cos(180°-α)+m×sin(180°-α)]個單位。

其實，根據圖形平移的性質，平移后的直線與原直線仍是互相平行的，即k不發生變化，只有b 發生了變化，即直線的平移都可以看成是由上、下兩種平移方法構成的。

【參考文獻】

[1]周加付; 三角變換的技巧和方法[J]. 成功(教育) 2010年12期

[2]叢遠林; 平移直線，解決一類中考壓軸題[J]. 初中數學教與學 2010年12期

（作者單位：江蘇省姜堰市沈高初級中學）

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”