淺談平方根的學習

平方根是數學里一個重要的概念，也是學習中的一個難點，下面從四個方面，談談如何學習平方根.

一、平方根的概念

１． 用語言敘述：如果一個數的平方等于ａ，那么這個數就叫做ａ的平方根.

２． 用符號表示：如果ｘ２ ＝ ａ，那么ｘ ＝ ±.

３． 算術平方根：正數ａ的正的平方根，叫做ａ的算術平方根；０的算術平方根是0，用符號表示為：（ａ ≥ ０）.

二、平方根的性質

１． 一個正數有兩個平方根，它們互為相反數.

２． 0有一個平方根，它是0本身.

３． 負數沒有平方根.

４． 算術平方根的性質：非負數的算術平方根還是非負數. 三、常見錯誤例析

１. 概念混淆，出現增解

例１ 計算：．

錯解 因（±８）２ ＝ ６４，故 ＝ ±８．

分析 混淆了平方根與算術平方根的概念，錯用符號，不理解的真正意義. 表示６４的正的平方根，即算術平方根，它是一個非負數.

正解＝ ８．

２. 遺漏符號，出現失解

例２ 求（－５）２的平方根.

錯解 （－５）２ ＝ ２５，所以（－５）２的平方根為－５.

分析 一個正數的平方根是互為相反數的兩個數.

正解 因（－５）２ ＝ ２５，所以２５的平方根為±５．

３. 亂用運算律或者公式，導致偏差

例３ 下列運算中錯誤的有（）.

① ＝-＝ １０ － ８ ＝ ２；

② =+=+= ；

③ =1；④ － =- = -

Ａ. ①②Ｂ. ③④ Ｃ. ①②③ Ｄ. ②③④

錯選 選擇Ａ 或選擇Ｂ或選擇Ｄ.

分析 在進行數的開平方運算時，不論被開方數是和的形式、差的形式，還是符號公式，還是帶分數的形式，在運算時，必須把被開方數的結果化成一個數的形式，要么是一個整數，要么是一個真分數，要么是一個假分數，同時，還要注意性質符號的一致性.

①的計算，亂用平方差公式，導致結果的錯誤；②的計算，亂用求兩數的和的運算律，導致錯誤；③的計算，也是自己杜撰運算的方法，所以，運算的結果，當然是錯誤的；只有④嚴格按照運算的要求進行的，并且等號兩邊的數的性質符號也是一致的. 因此，①②③都是錯誤的. 正解：選Ｃ.

４. 忽視語言敘述含有的運算

例４的算術平方根為＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

錯解 ４ .

分析 錯在沒有仔細審題，把題意理解為求１６的算術平方根了，實際上，這道題是求１６的算術平方根的算術平方根. 正解 因 ＝ ４，所以的算術平方根為２，結果應填２.

５. 忽視隱含，產生誤解

例５ （１．４１４ － ）２的算術平方根是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

錯解 １．４１４ － .

分析 錯在忽視了隱含條件 ＞ １．４１４，即１．４１４ － 是負數.

正解－ １．４１４.

６. 忽視被開方數的意義，導致錯誤

例６ 下列運算過程，

①－８是－６４的平方根；② － ＝ －（－８） ＝ ８；

③ = - = -2； ④±＝ ±（－８） ＝±８正確的個數：（ ）

Ａ. ０個Ｂ. ２個 Ｃ. ３個Ｄ. ４個

錯解 選擇Ｂ或選擇Ｃ 或選擇Ｄ.

分析 要求一個數的平方根或進行有關平方根的運算時，必須保證被開方數是非負數，否則，就沒有什么意義.

①②④的被開方數都是－６４，是負數，所以，根本就沒有意義，因此，也就無法進行運算；

③的被開方數是－２２＝－４，是負數，所以，根本就沒有意義，因此，也就無法進行運算；

所以，上面的說法都是錯誤的，即正確的個數為０.正解：選擇Ａ.

四、平方根的應用

１． 填 空

（１）（－４）２的算術平方根是.

（２）６２５的平方根是，算術平方根是.

（３）的平方根為.

（４） －４是的一個平方根.

（５） ＝ .

（６）的算術平方根的相反數是，的平方根的倒數是.

２． 選 擇

（７）的平方根是（）．

Ａ． ±３Ｂ． ３Ｃ． ±９Ｄ． ９

（８）下列敘述中正確的是（ ）.

Ａ． ９的平方根是３Ｂ． ９的平方根是－３

Ｃ． 因３２ ＝ ９，故３是９ 的一個平方根

Ｄ． 等于±３

（９）下列敘述中錯誤的是（ ）

Ａ． 的算術平方根是

Ｂ． －３是９的一個平方根

Ｃ． １３是（－１３）２的算術平方根

Ｄ． ０．４的算術平方根是０．０２

（１０）下列式子中，正確的是（ ）

Ａ． ＝ ±５ Ｂ． ± ＝ ５

Ｃ．＝ －３Ｄ． （）２ ＝ ３

（１１）下列各式中無意義的是（）

Ａ． －Ｂ．Ｃ． Ｄ．

參考答案

（１） ４ （２） ±２５ 、 ２５ （３） ±（４） １６ （５）π－３ （６） －，±８

（７）Ａ（８）Ｃ（９）Ｄ（１０）Ｄ （１１）Ｄ

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文