1,2報數中的學問

【摘要】 ２ｋ ＋ ｘ個人排成一排（或一圈），依次編號，然后１，２報數，報１的出去，報２的留下，最后留下的是編號為２ｋ（或２ｘ）的人.

【關鍵詞】 數學；１，２ ；報數；結論

生活中我們經常看到一些人排成一排或一圈，然后１，２，１，２……報數，這樣的報數中有什么學問呢？

問題１ ４８人排成一排，依次分別編上１，２，３，…，４８號. 從第１號開始按照１，２，１，２……的順序報數，報１的出列，留下的再重新從頭按照１，２，１，２……報數，報１號的再出列，這樣繼續下去，報若干次后只留下一個人，這個人的編號是多少？

分析與解 第一次報數后留下的人，編號為２，４，６，…，４８，即２１ ＝ ２的倍數；

第二次報數后留下的人，編號為４，８，１２，…，４８，即２２ ＝ ４的倍數；

第三次報數后留下的人，編號為８，１６，２４，…，４８，即２３ ＝ ８的倍數；

第四次報數后留下的人，編號為１６，３２，４８，即２４ ＝ １６的倍數；

第五次報數后留下的人，編號為３２，即２５ ＝ ３２的倍數，也就是最后留下的人的編號.

結論１ 從上面的例子中我們可以得出如下結論：ｍ個人排成一排，依次分別編上１，２，３，…，ｍ號. 從第１號開始按照１，２，１，２…，的順序報數，報１的出列，留下的再重新從頭按照１，２，１，２…，報數，報１號的再出列，這樣繼續下去，經過ｋ次后，最后留下的人的編號是２ｋ，ｋ滿足２ｋ ≤ ｍ ＜ ２ｋ＋１.

如何求ｋ呢？可以用ｍ除以２，再用所得算商的整數部分再除以２，這樣一直到商是１為止，其中Ｋ是ｍ最多能連續除以２的次數. 如ｍ ＝ ３５，３５ ÷ ２ ＝ １７……１，１７ ÷ ２ ＝ ８……１，８ ÷ ２ ＝ ４…１，４ ÷ ２ ＝ ２，２ ÷ ２ ＝ １，連續除５次，也就是ｋ ＝ ５．

問題２ 如果ｍ個人排成一圈，依次按照順時針方向分別編上１，２，３，…，ｍ號. 從第１號開始按照順時針方向連續１，２報數，報１的出去，報２的留下，最后留下的是幾號呢？

分析與解 我們可以分兩種情況研究.

第一種，人數是２ｋ，如４人、８人、１６人，等等. 以１６人為例，從下面的圖中可以看出，每次留下的人的情況和排成一排的情況是相同的，最后留下的是編號為２ｋ的人，也就是編號為２４＝ １６的人.

第二種情況，人數是２ｋ ＋ ｘ，我們可以利用第一種情況的結論，從ｘ ＝ １，也就是人數是２ｋ ＋ １時研究起，看看能發現什么規律.

x ＝ １時，如圖１所示：第一個出去的是１號，這時還有２ｋ個人，這就回到了第一種情況，而留下的人中，第一個出去的是３號（相當于第一種情況中的１號），最后留下的是２號，因為這時２號就是１號出去后的第２ｋ個人；

x ＝ ２時，如圖２所示：第一個出去的是１號，第二個出去的是３號，這時還有２ｋ個人，這就又回到了第一種情況，而留下的人中，第一個出去的是５號（相當于第一種情況中的１號），最后留下的是４號，因為這時４號就是１號、３號出去后的第２ｋ個人；

如圖３所示， x ＝ ３時，最后留下的是６號；

利用圖４我們很容易知道，x ＝ ４時，最后留下的是８號；

……

結論２ 從上面的研究中，我們可以得出如下結論：ｍ個人排成一圈，依次按照順時針方向分別編上１，２，３，…，ｍ號，ｍ ＝ ２ｋ ＋ ｘ（ｋ滿足２ｋ ≤ ｍ ＜ ２ｋ＋１）. 從第１號開始按照順時針方向連續１，２報數，報１的出去，報２的留下，經過ｋ次后，最后留下的是編號為２ｘ的人.

利用這個結論我們很容易知道，７個人時，留下的是６號. 因為７ ＝ ２２ ＋ ３，３的２倍是６. １０個人時，留下的是４號. 因為１０ ＝ ２３ ＋ ２，２的２倍是４．

練習題

１． ２６個人排成一排，依次排上１，２，３，…，２６號從１號開始按照１，２，１，２……的順序報數，報１的出列，留下的人再重新從頭按照１，２，１，２……的順序報數，報１的再出列，繼續下去，最后留下的是幾號？

２． ６５枚棋子擺成一圈，依次按照順時針方向編上１，２，３，…，６５號，從１號開始按照順時針方向每隔１個取走１個棋子，最后留下的是多少號棋子？

３． ３０個人圍成一圈，依次按照順時針方向編上１－３０號，從某一號開始按照順時針方向連續１，２報數，報２的留下，報１的出去. 如果最后留下的是２５號，那么是從編號多少的人開始報數的？

參考答案

１． 利用結論１．２６ ＝ ２４ ＋ １０，經過４次報數，最后留下的是１６號．

２． 利用結論２．６５ ＝ ２６ ＋ １，所以最后留下的是２號棋子.

３． ３０ ＝ ２４ ＋ １４，如果從１號開始報，留下的應該是２８號（１號到２８號有２８個數）；如果從２號開始報，留下的應該是２９號；（２號到２９號有２８個數）；如果從３號開始報，留下的應該是３０號；（３號到３０號有２８個數）；如果從４號開始報，留下的應該是１號 （４號到１號有２８個數）……

進一步得到：無論從幾號報，都要保證從開始報的號到留下的號要有２ｍ個數.

現在留下的是２５號，２８號到２５號有２８個數，所以是從２８號開始報的.

總結與提示 有許多問題，是不能直接得出答案的. 通過列舉一些個別問題進行研究，從個別問題中發現出一般規律，從而解決問題，這是數學上常用的辦法之一.

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