數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生“咬文嚼字”

我們好多學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)很深?yuàn)W，很難學(xué)，好多題目看完之后，沒(méi)有任何思路，做題感覺(jué)無(wú)從下手. 好多學(xué)生只會(huì)做老師講過(guò)的，教過(guò)的，遇到一些新題型往往會(huì)束手無(wú)策. 導(dǎo)致這種現(xiàn)象發(fā)生的最主要原因就是題目根本沒(méi)讀懂，或者是表面上讀懂了，但關(guān)鍵的地方并沒(méi)有讀出出題者的意圖. 為什么會(huì)導(dǎo)致這種現(xiàn)象發(fā)生呢？就是因?yàn)槲覀冊(cè)诮虒W(xué)中缺少“咬文嚼字”的訓(xùn)練，有的學(xué)生不是學(xué)數(shù)學(xué)，而是背數(shù)學(xué)，背老師講過(guò)的，背自己做過(guò)的，這樣的學(xué)法是永遠(yuǎn)學(xué)不好數(shù)學(xué)的. 數(shù)學(xué)要求學(xué)生具備變通能力，知識(shí)的融會(huì)與貫通能力. 因此在教學(xué)中 必須加強(qiáng)“咬文嚼字”的訓(xùn)練. 如何培養(yǎng)學(xué)生的咬文嚼字能力呢？

一、在講授定義、定理時(shí)培養(yǎng)咬文嚼字能力

數(shù)學(xué)學(xué)科具有“精確、嚴(yán)謹(jǐn)”的特性，其中的每一個(gè)字都是經(jīng)過(guò)反復(fù)推敲而得，概念中的一字之差，符號(hào)中的一筆不同，其意義就相差甚遠(yuǎn)，因此數(shù)學(xué)教學(xué)中要使學(xué)生正確理解，把握概念、定理等，教學(xué)中必須做到“咬文嚼字”.

在講解函數(shù)的奇偶性時(shí)，先給出定義： 一般地，如果對(duì)于函數(shù)ｆ（ｘ）的定義域內(nèi)的任意一個(gè)ｘ，都有ｆ（－ｘ） = ｆ（ｘ），那么稱函數(shù)ｙ ＝ ｆ（ｘ）是偶函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)ｆ（ｘ）的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有ｆ（－ｘ） ＝ －ｆ（ｘ），那么稱函數(shù)ｙ ＝ ｆ（ｘ）是奇函數(shù)． 老師給出練習(xí)：

例１ 判斷下面這個(gè)函數(shù)的奇偶性：ｆ（ｘ） ＝ （ｘ － １）.

錯(cuò)解 ∵ ｆ（ｘ） ＝ （ｘ － １） ＝＝＝ ，

ｆ（－ｘ） ＝＝＝ｆ（ｘ），

∴ ｆ（ｘ） ＝ （ｘ － １）是偶函數(shù).

這道題錯(cuò)的原因就在于沒(méi)真正掌握函數(shù)的奇偶性的定義. 從定義上我們可以看出，只要函數(shù)的定義域內(nèi)有一個(gè)ｘ值不滿足ｆ（－ｘ） ＝ －ｆ（ｘ）（或ｆ（－ｘ） = ｆ（ｘ）），這個(gè)函數(shù)就不是奇（偶）函數(shù). 也就是說(shuō)，函數(shù)的定義域首先要關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)ｙ ＝ ｆ（ｘ）的奇偶性是考查ｆ（－ｘ）與ｆ（ｘ）的關(guān)系，所以ｆ（－ｘ）與ｆ（ｘ）都應(yīng)有意義，即-x與x都應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi) . 因?yàn)閷?shí)數(shù)-x與x是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的，所以定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件. 所以判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性，首先要考查它的定義域是否滿足“ｘ與－ｘ都在函數(shù)的定義域內(nèi)”，再考查ｆ（－ｘ）與ｆ（ｘ）關(guān)系.

因此上面那道題目學(xué)生錯(cuò)的原因就是沒(méi)有從定義中讀出：定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件. 而例１的定義域?yàn)椋郏保保魂P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以根本談不上奇偶性.

例２ 函數(shù)ｙ ＝ ｘ２ ＋ ｂｘ + c在［－１，ｂ］上是偶函數(shù)，則ｂ ＝ .

這道題的關(guān)鍵是ｙ ＝ ｘ２＋ｂｘ ＋ ｃ在［－１，ｂ］上是偶函數(shù)，說(shuō)明定義域［－１，ｂ］關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以ｂ ＝ １. 通過(guò)這兩個(gè)例子說(shuō)明，我們?cè)谄饺战虒W(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)讀題，學(xué)會(huì)咬文嚼字，真正地理解概念、定理所表述的全部意義，把它們吃透，嚼透，做題時(shí)才能柳暗花明又一村．

二、訓(xùn)練學(xué)生解題時(shí) “咬出”題眼

學(xué)生在解題過(guò)程中，總是出現(xiàn)這樣一種現(xiàn)象：簡(jiǎn)單題目馬虎出錯(cuò)，較難的題目找不到解題的突破口. 導(dǎo)致這種現(xiàn)象發(fā)生的最重要的原因就是：忽略了題目中的關(guān)鍵詞．

例３ 若函數(shù)ｙ ＝ ｍｘ２－６ｘ ＋ ２的圖像與 x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的值.

好多學(xué)生拿到之后立馬想到二次函數(shù)，而二次函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的Δ ＝ ０，然后就求解了. 而這道題只說(shuō)是“函數(shù)”，沒(méi)說(shuō)是“二次函數(shù)”，做錯(cuò)的原因是忽略了“一次函數(shù)”. 費(fèi)了半天工夫最后不得分，原因就在于忽視了題眼“函數(shù)”.

例４ （２０１０廣東卷）為了迎接２０１０年廣州亞運(yùn)會(huì)，某大樓裝了５個(gè)彩燈，它們閃亮的順序不固定. 每個(gè)彩燈只能閃亮紅、橙、黃、綠、藍(lán)中的一種顏色，且這５個(gè)彩燈所閃亮的顏色各不相同. 即這５個(gè)彩燈有序地各閃亮一次為一個(gè)閃爍，在每個(gè)閃爍中，每秒鐘有且僅有一個(gè)彩燈閃爍，而相鄰兩個(gè)閃爍的時(shí)間間隔均為５秒. 如果要實(shí)現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時(shí)間至少是多少？

本題考查排列組合知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題的題眼是：要實(shí)現(xiàn)所有不同的閃爍. 解題思路是：要實(shí)現(xiàn)所有不同的閃爍需要的時(shí)間最少，只要所有的閃爍連續(xù)且不重復(fù)地依次閃爍一遍. 而所有的閃爍共有A = 120，因?yàn)樵诿總€(gè)閃爍中，每秒鐘有且僅有一個(gè)彩燈閃亮，即每個(gè)閃爍的時(shí)長(zhǎng)為５秒，而相鄰兩個(gè)閃爍的時(shí)間間隔均為５秒，所以要實(shí)現(xiàn)所有的不同的閃爍，需要的時(shí)間至少是１２０ × （５ ＋ ５） － ５ ＝ 1195（秒）.

例５ “漸減數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比起左邊的數(shù)字小的正整數(shù)（如：９８７６，５３２０），若把所有的四位漸減數(shù)按從大到小的順序排列，則第１８０個(gè)數(shù)為多少？

好多學(xué)生拿到這個(gè)題目之后，沒(méi)有任何思路，打算用枚舉的方法，可是要數(shù)到第１８０個(gè)，數(shù)著數(shù)著就錯(cuò)了，連數(shù)幾遍就不耐煩了. 這時(shí)就要提醒學(xué)生：尋求關(guān)鍵詞，找到突破口. 所謂漸減數(shù)，就是每個(gè)數(shù)字比起左邊的數(shù)字小的正整數(shù)，那也就是說(shuō)，只要把數(shù)選出來(lái)，順序必須按照從大到小排列，因此就不要排序了，就是組合的問(wèn)題，就看選數(shù)有多少種選法，意識(shí)到這點(diǎn)之后，問(wèn)題被輕松地解決了.

以上三個(gè)例子說(shuō)明，不管是簡(jiǎn)單的題目，還是有點(diǎn)難度的題目，只要能找出題目中的關(guān)鍵詞，所有的題目都能迎刃而解.

三、通過(guò)變式訓(xùn)練，培養(yǎng)咬文嚼字的能力

所謂變式教學(xué)，是指有計(jì)劃、有目的地把教學(xué)內(nèi)容的非本質(zhì)屬性進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問(wèn)題的本質(zhì)，突出它們的本質(zhì)，從而揭示不同知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系的一種教學(xué)設(shè)計(jì)方法. 通過(guò)變式訓(xùn)練，讓學(xué)生找到哪些地方變化了，“咬出”變化，“嚼出”區(qū)別，從而順利地解決問(wèn)題． 變式訓(xùn)練可以從以下兩個(gè)方面考慮：

（１）從字面上進(jìn)行變式

例６ 設(shè)ｆ（ｘ） ＝ ｌｇ（ａｘ２ － ２ｘ ＋ ａ），若ｆ（ｘ）的定義域?yàn)椋遥髮?shí)數(shù)ａ的取值范圍.

變式 設(shè)ｆ（ｘ） ＝ ｌｇ（ａｘ２ － ２ｘ ＋ ａ），若ｆ（ｘ）的值域?yàn)椋遥髮?shí)數(shù)ａ的取值范圍.

第一題中，首先要考慮ａ ＝ ０時(shí)行不行，a ≠ 0時(shí)，可轉(zhuǎn)化為Δ < 0；第二道題中，a = 0可以，a ≠ 0時(shí)，可轉(zhuǎn)化為a > 0，且Δ≥0.

這兩小題形同質(zhì)異，特別是第２題，學(xué)生理解上可能有困難，教學(xué)中抓住函數(shù)ｙ ＝ ｌｇ ｘ及ｙ ＝ ａｘ２ － ２ｘ ＋ ａ的圖像，加以分析，找出共同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)不同點(diǎn)，最后解決問(wèn)題.

（２）從所考查的知識(shí)點(diǎn)上進(jìn)行變式

例７ 求函數(shù)的值域：y = x2 - 3x + 4.

變式１ 求函數(shù)的值域：ｙ ＝ ｘ２ － ３ｘ ＋ ４，ｘ∈［－２，４］.

變式２ 求函數(shù)的值域：ｙ ＝ ｘ２ － ３ｘ ＋ ４，ｘ∈（－２，４］.

變式3 求函數(shù)的值域：y = sin2 x - 3sin x + 4.

變式4 求函數(shù)的值域：y = -cos2x - 3sin x + 5.

變式5 ｍ取何值時(shí)，關(guān)于ｘ的方程sin2x + cos x + m = 0有實(shí)數(shù)解？

經(jīng)過(guò)這樣的訓(xùn)練，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)：都是二次函數(shù)求最值的問(wèn)題. 以后再遇到這樣的題，學(xué)生心理上就不再會(huì)害怕，做起來(lái)就會(huì)得心應(yīng)手.

通過(guò)變式練習(xí)，既注重了知識(shí)與方法的遷移，又訓(xùn)練了嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的良好習(xí)慣.

四、通過(guò)一題多解訓(xùn)練咬文嚼字能力

例８ 已知點(diǎn)Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）是單位圓上的兩點(diǎn)，且∠ＡＯＢ ＝ １２０°，求ｘ１ｘ２ ＋ ｙ１ｙ２等于多少.

解法一 利用向量的數(shù)量積兩種定義巧妙轉(zhuǎn)換.

ｘ１ｘ２ ＋ ｙ１ｙ２ ＝ #8226; = ||#8226;||cos120° = -.

解法二 構(gòu)建三角形，用余弦定理解決.

=++ 2#8226;cos120°.

解法三 構(gòu)建矩陣去解決.

cos120° - sin120°sin120°cos120°x1y1 = x2y2.

這題的關(guān)鍵字眼就是ｘ１ｘ２ ＋ ｙ１ｙ２，教學(xué)中提醒學(xué)生，哪些知識(shí)點(diǎn)中可以構(gòu)造出ｘ１ｘ２ ＋ ｙ１ｙ２，讓學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行反復(fù)的解讀、咀嚼、推敲，最后發(fā)現(xiàn)了以上幾種方法. 既解決了問(wèn)題，又活躍了課堂氣氛，收到了較好的課堂效果.

五、加強(qiáng)閱讀訓(xùn)練，培養(yǎng)咬文嚼字能力

很多老師、學(xué)生和家長(zhǎng)都片面地認(rèn)為，學(xué)好數(shù)學(xué)主要依靠聽(tīng)講和做大量解題練習(xí)，在這種思想指引下，學(xué)生很少得到有關(guān)數(shù)學(xué)閱讀方法的指導(dǎo). 其實(shí)在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)閱讀發(fā)展水平低的學(xué)生，課堂上對(duì)數(shù)學(xué)信息的敏感性差，思維轉(zhuǎn)換慢，從而造成知識(shí)接受質(zhì)差量少，理解問(wèn)題時(shí)常發(fā)生困難和錯(cuò)誤. 最新的腦科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，閱讀和聯(lián)想力、創(chuàng)造力、感受力、理解力、記憶力都有極大的關(guān)聯(lián)，這些能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力品質(zhì)，所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能忽略閱讀訓(xùn)練. 我主要從以下幾個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的閱讀訓(xùn)練：

（１）課堂上的例題老師不讀，留出一定的時(shí)間學(xué)生自己閱讀. 好多老師講課時(shí)，例題一給出，學(xué)生還沒(méi)看到題目呢，老師就開(kāi)始滔滔不絕地講了，老師講完了，學(xué)生表面上是聽(tīng)懂了，可是下次遇到這樣的題還是不一定能解出來(lái). 高考中學(xué)生不可能把老師帶進(jìn)考場(chǎng)去讀題的，所以上課時(shí)不能忽略這一環(huán)節(jié)，如果長(zhǎng)期堅(jiān)持的話，就相當(dāng)于每天都在培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立審題能力 ，定能收到良好的效果.

（2）用應(yīng)用題訓(xùn)練閱讀，培養(yǎng)咬文嚼字能力.

例9 （２０１０福建卷）某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上. 在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口Ｏ北偏西30° 且與該港口相距２０海里的Ａ處，并正以３０海里／小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛. 假設(shè)該小艇沿直線方向以ｖ海里／小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)ｔ小時(shí)與輪船相遇.

①若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

②假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到３０海里／小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由.

本題主要考查數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的能力，如果題目讀懂了，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這是解三角形的問(wèn)題，問(wèn)題就會(huì)很輕松地解決.

從以上可以看出，“咬文嚼字”的精神在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是不可忽視的，因?yàn)檫@是學(xué)數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)的需要，也是培養(yǎng)高素質(zhì)人才的需要，所以我們?cè)诮虒W(xué)中要大力提倡“咬文嚼字”，鍛煉學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生，真正提高學(xué)生的解題能力，為祖國(guó)輸送優(yōu)秀可造之材.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文