數學猜想的功能例說

【摘要】 數學猜想是初中數學課堂教學的一種工具，是解決數學問題的一類思路，是培養學生創新思維的一個載體，數學教學中利用數學猜想去解決問題更是中考數學的重要一環.

【關鍵詞】 數學猜想；類比；歸納

一、何謂數學猜想

猜想本意是猜測；猜度. 猜想是對研究的對象或問題進行觀察、分析、比較、類比、歸納等，依據已有的材料和知識作出符合一定的經驗與事實的憑借直覺所做的推測性想象的思維方法，是一種創造性的思維活動，具有真實性、探索性、靈活性和創造性等基本特點.

數學猜想就是依據某些已知事實和數學知識，對未知量及其關系所得出的一種推斷，是數學中的合情推理. 或者說數學猜想是建立在一定現有理論和客觀事實基礎上的邏輯推理和假設.

二、數學猜想的功能

（一）數學猜想是課堂教學的一種工具

課堂教學的方法和手段可以是多樣化的，教學上沒有固定的方法，只要適合學生，有利于數學教與學的過程開展，有利于激發學生的興趣，有利于發展學生的思維，都不失為有效的方法. 在初中的數學教學中，就有許多可以利用數學猜想去進行課堂教學的內容，比如利用類比猜想去幫助學生接受新的數學知識.

例１ 浙教版§７．１分式（２）分式的基本性質內容，就可以通過小學分數的基本性質的類比去猜想分式的基本性質.

下面這些式子成立嗎？依據是什么？

待學生講出分數的基本性質后，再讓學生講出分數的基本性質的內容.

類似地，分式也有以下基本性質：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于０的整式，分式的值不變.

利用類比猜想去進行初中數學教學的內容是非常多的，實數的運算律可以由有理數的運算律類比，多項式的計算可以由數字的計算類比得到，等等.

又比如可以利用歸納猜想進行數學課堂教學

例２ 凸多邊形的內角和教學

三角形內角和為１８０°，是１個三角形；四邊形可分為２個三角形，所以內角和為２ × １８０°；五邊形可分為３個三角形，所以內角和為３ × １８０°；六邊形可分成４個三角形，所以內角和為４ × １８０°. 由此可以通過歸納猜想得到；凸ｎ邊形的內角和為（ｎ － ２） × １８０°.

例３ （浙教版八年級上冊§３．１認識直棱柱（Ｐ５７）作業題）觀察直棱柱的模型或畫出示意圖，填寫下表：

（２）從上表中，你能發現直棱柱的面數、棱數和頂點數之間有什么規律嗎？

規律是：面數 ＋ 頂點數 － 棱數 ＝ ２.

從解題的過程看，是通過對幾種常見的直棱柱的面數、棱數和頂點數的探索去歸納出一般的直棱柱面數、棱數和頂點數之間的規律.

利用數學猜想進行課堂教學，對于學生理解和掌握數學知識的作用是明顯的.

（二）利用數學猜想是學生解題的一類思路

數學習題的展示方式多種多樣，解題的角度也可以是五花八門，但是有的數學習題，就必須利用數學猜想作為解題的思考途徑，具體的有類比性猜想、歸納性猜想、對稱性猜想、仿造性猜想和逆向性猜想、探索性猜想等，在初中數學的解題中，類比、歸納性猜想探索性猜想應用得比較多.

例４ 計算－１ ＋ ３ － ５ ＋ ７ － ９ ＋ … ＋ （－１）ｎ（２ｎ － １）的值.

就可以先計算下面幾項：－１；－１ ＋ ３；－１ ＋ ３ － ５；－１ ＋ ３ － ５ ＋ ７；－１ ＋ ３ － ５ ＋ ７ － ９的結果分別是－１，２，－３，４，－５，由上述數據我們可以猜想－１ ＋ ３ － ５ ＋ ７ － ９ ＋ … ＋ （－１）ｎ（２ｎ － １） ＝ （－１）ｎｎ.

例５ 一個長方形把平面分成兩部分，那么３個長方形最多把平面分成多少部分？那么ｎ個長方形最多可以把平面分成多少個部分？

分析 如圖1，先畫出相應的圖形，并數一下最多把平面分成幾個部分，然后再去找規律.

畫出第一個長方形，顯然它把平面分成兩部分.

第２個長方形有四條邊，每條邊都可以掛一下原長方形的每個角，這樣就產生最多的８個交點，這８個交點自然把第２個長方形分成８段（有直的、有彎的），每段把原先的部分又多分出一個部分，新增８個，所以２ ＋ ８ ＝ １０（個部分）.

第３個長方形的每條邊現在可以掛到原有２個長方形的８個角，最多可產生１６個交點，同理這１６個交點把第三個長方形本身分成１６段，每段穿過一個部分，又新增加１６個部分，共２ ＋ ８ ＋ １６ ＝ ２６（個部分）.

第４個長方形的每條邊現在可以掛到原有３個長方形的１２個角，最多可產生２４個交點，同理這２４個交點把第四個長方形本身分成２４段，每段穿過一個部分，又新增加２４個部分，共２ ＋ ８ ＋ １６ ＋ ２４ ＝ ５０（個部分）.

這樣我們就可以通過對上面的幾個特殊的情況的分析，猜想出ｎ個長方形最多可以把平面分成２ ＋ ｎ × （ｎ － １） × ４.

其實，我們還可以繼續思考，如果把長方形改為三角形，那么ｎ個三角形可以把平面最多分成２ ＋ ｎ × （ｎ － １） × ３；改成五邊形，ｎ個五邊形可以把平面最多分成２ ＋ ｎ × （ｎ － １） × ５，那么如果是ｎ個ｍ邊形時，這ｎ個ｍ邊形最多可以把平面分成２ ＋ ｎ × （ｎ － １） × ｍ.

本題的解法采用了歸納猜想. 歸納法是用特殊事例去推測一般原理的方法，這一方法為解決比較難的習題提供了一條較好的入手角度.

（三）數學猜想是培養學生創新思維的一方藥劑

牛頓說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現. ”數學猜想是數學教學過程中發展學生創造性思維的重要方法，也是培養學生創新思維的一個載體.

數學猜想的過程就是從觀察事物的表象到揭示事物本質的過程，是特殊到一般，再從一般到特殊過渡的過程.

例６ 將ｐｉｚｚａ餅切成一塊塊的．那么一定數量的刀數，就可產生一個最多的塊數，請問：你是否也想操刀一試身手？是否也想知道其中的奧妙？你能回答平面上的ｎ條直線最多可以把平面分成幾部分嗎？

我們不妨用圖示去思考這個問題

由上圖可以看出，１刀、２刀、３刀、４刀、５刀時對應的最多塊數是２，４，７，１１，１６，根據這些數字的特征，我們可以得到２ ＝ １ ＋ １ ＝ （１ × ２） ÷ ２ ＋ １，４ ＝ ３ ＋ １ ＝ （２ × ３） ÷ ２ ＋ １，７ ＝ ６ ＋ １ ＝ （３ × ４） ÷ ２ ＋ １，１１ ＝ １０ ＋ １ ＝ （４ × ５） ÷ ２ ＋ １，１６ ＝ 15 + 1 =（５ × ６） ÷ ２ ＋ １，那么當我們切ｎ刀的時候，ｐｉｚｚａ餅的最多塊數是ｎ（ｎ ＋ １） ÷ ２ ＋ １.

這樣，我們聯系到平面上的ｎ條直線最多可以把平面分成幾部分的問題，只要向學生說明這些ｎ條直線不平行，而且沒有任何三條直線交于同一點，此時平面上的ｎ條直線最多可以把平面分成幾部分就是將ｐｉｚｚａ餅切成一塊塊的刀數和產生的最多塊數的問題了.

這樣的問題，有利于激發學生的學習興趣，培養學生探索問題，解決問題的能力，也培養了學生的創新思維.

（四）利用數學猜想解題是中考數學內容的重點

利用數學猜想去解中考數學題，已經成為了中考的重要內容，也是今后中考的發展方向. 寧波市的歷年中考，全國各地的中考數學，都有數學猜想應用的考題，因為這類題目不但可以考查學生掌握數學知識和分析、解決問題的能力，還可以考查學生的應用問題的能力以及學生的創新思維的程度，這就給既是會考性質又是選拔性質的中考提供了普通高中選拔人才的方式.

例７ （２００８年寧波市中考２６）如圖１，把一張標準紙一次又一次對開，得到“２開”紙、“４開”紙、“８開”紙、“１６開”紙……．已知標準紙的短邊長為a．

（１）如圖２，把這張標準紙對開得到的“１６開”紙按如下步驟折疊：

第一步：將矩形的短邊AB與AD長邊對齊折疊，點B落在AD上的點B′處，鋪平后得折痕AE；

第二步：將長邊AD與折痕AE對齊折疊，點D正好與點E重合，鋪平后得折痕AF．

則AD ∶ AB的值是，ＡＤ，ＡＢ的長分別是， ．

（２）“２開”紙、“４開”紙、“８開”紙的長與寬之比是否都相等？若相等，直接寫出這個比值；若不相等，請分別計算它們的比值．

（３）如圖３，由８個大小相等的小正方形構成“L”型圖案，它的四個頂點Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分別在“１６開”紙的邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，求ＤＧ的長．

（４）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M = 90°，MN = MQ = 2PQ，且四個頂點M，N，P，Q都在“４開”紙的邊上，請直接寫出２個符合條件且大小不同的直角梯形的面積．

例８ （２００９年寧波市中考２１）（１）如圖１，把等邊三角形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作等邊三角形，并去掉居中的那條線段，得到一個六角星，則這個六角星的邊數是 .

（２）如圖２ ，在 網格中有一個正方形，把正方形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作正方形，去掉居中的那條線段，請把得到的圖畫在圖３中，并寫出這個圖形的邊數.

（３）現有一個正五邊形，把正五邊形的各邊三等分，分別以居中的那條線段為邊向外作正五邊形，并去掉居中的那條線段，得到的圖的邊數是多少？

例９ （２０１０年寧波市初三畢業生學業考試數學試題２５）18世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（Ｖ）、面數（Ｆ）、棱數（Ｅ）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式. 請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

（１）根據上面多面體模型，完成表格中的空格：

你發現頂點數（Ｖ）、面數（Ｆ）、棱數（Ｅ）之間存在的關系式是_______________.

（２）一個多面體的面數比頂點數大８，且有３０條棱，則這個多面體的面數是______________.

（３）某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有２４個頂點，每個頂點處都有３條棱，設該多面體外表三角形的個數為ｘ個，八邊形的個數為ｙ個，求ｘ ＋ ｙ的值.

中考數學中出現應用數學猜想解題已經是一種常態，而且我們觀察歷年的初中數學競賽題，沒有一份試卷不出現利用猜想進行思考、解答的題目，因此重視對學生的數學猜想解題的培養，也是初中數學教學大綱的要求，而且我們可以在平時的教學中發現，數學教材里利用數學猜想解題的內容是有相當量的篇幅.

總之，數學猜想在初中數學的教學中意義重大，作為數學教師，不僅要利用好教材中有關數學猜想的內容，還應指導學生加強對數學猜想方面的知識、能力的培養，努力去激發學生的學習興趣，發展他們的創新思維，這也是人才開發和培養的重要一環.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文