數形結合法在一元二次不等式解法教學中的應用

【摘要】中學數學應該重視數學思想的教學，數形結合是中學數學中一種基本的重要的數學思想.本文著重探討數形結合法在一元二次不等式解法教學中的應用.

【關鍵詞】數學思想；數形結合法；一元二次不等式的解法

教學實踐表明：中小學數學教育的現代化，主要不是內容的現代化，而是數學思想、方法及教學手段的現代化，加強數學思想方法的教學是基礎數學教育現代化的關鍵.因此，中學數學應該重視數學思想的教學，數形結合法是中學數學中一種基本的重要的數學思想.

一、數形結合的內涵

恩格斯認為：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學.”數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化.“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性，數形結合主要指的是數與形之間的一一對應關系.所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形之間的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法.

二、數形結合的意義

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非.”數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，從而使問題得到簡捷解決.數形結合能力的提高，有利于從形與數的結合上深刻認識數學問題的實質，有利于扎實打好數學基礎，有利于數學素質的提高，同時必然促進數學能力的發展.

三、數形結合法的應用

在中學數學中，數形結合的思想方法應用廣泛.常見的如在解方程和解不等式問題中，在函數的值域、最值問題中，在求復數和三角函數問題中，應用數形結合思想，不僅直觀發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.在教學中要培養學生數形結合的思想意識，做到胸中有圖，見數想圖，以開闊他們的思維視野.

下面著重探討數形結合法在一元二次不等式解法教學中的應用.

下面以x2-x-2>0（<0）的解法為例進行分析：

一元二次不等式x2-x-2>0（<0）對應一元二次方程x2-x-2=0，可求得兩根為x1=-1，x2=2，一元二次方程x2-x-2=0對應的二次函數y=x2-x-2的圖像與x軸有兩個交點P1(-1，0)，P2(2，0)，一元二次方程x2-x-2=0的根其實就是對應函數y=x2-x-2的圖像與x軸的交點的橫坐標.

圖 1

根據函數y=x2-x-2的簡圖1，函數y=x2-x-2的圖像上的點M(x，y)具有以下性質：

y=0x=-1或x=2，y>0x<-1或x>2，y<0-1

由此可知，不等式x2-x-2>0的解集是(-∞，-1)∪(2，+∞)，不等式x2-x-2<0的解集是（-1，2）.一般地，對于二次函數y=ax2+bx+c，使它的圖像在x軸上方的自變量x的范圍就是ax2+bx+c>0的解集；使它的圖像在x軸下方的自變量x的范圍就是不等式ax2+bx+c<0的解集.

例1 解不等式x2-x-12>0.

分析 求拋物線y=x2-x-12與x軸交點的橫坐標，即求方程x2-x-12=0的實根，然后通過觀察二次函數y=x2-x-12的簡圖寫出不等式的解集.

解 方程x2-x-12=0的根為x1=-3，x2=4.

圖 2

由函數y=x2-x-12的簡圖2，得原不等式的解集是(-∞，-3)∪(4，+∞).

點評 數形結合法解一元二次不等式直觀形象，簡潔明快，比他法更容易被中職學生接受.

例2 解不等式-4x2+5x-1>0.

分析 將不等式化為二次項系數為正值的不等式，然后仿照例1（用數形結合法）求解.

解 原不等式可化為4x2-5x+1<0.

Δ=(-5)2-4×4×1>0.

方程4x2-5x+1=0的根為x1=14，x2=1.

圖 3

由函數y=4x2-5x+1的簡圖3，得原不等式的解為14，1.

例3 解不等式x2-10x+25>0.

分析 首先要求出一元二次方程x2-10x+25=0的根，Δ=(-10)2-4×1×25=0，方程有兩個相等的實根，說明拋物線y=x2-10x+25與x軸只有一個交點，畫出拋物線y=x2-10x+25的簡圖，便可求出不等式的解集.

解 方程x2-10x+25=0有兩個相等的實根x1=x2=5.

圖 4

由二次函數y=x2-10x+25的簡圖4，可得原不等式的解集是{x|x≠5，x∈R}，用區間可表示為(-∞，5)∪(5，+∞).

圖 5

例4 解不等式x2-x+3>0.

分析 一元二次方程x2-x+3=0的根的判別式Δ=(-1)2-4×1×3<0，方程無實根，這說明拋物線y=x2-x+3與x軸無交點.畫出拋物線的簡圖5，便可求得不等式的解集.

解 ∵方程x2-x+3=0無實根，∴拋物線y=x2-x+3與x軸不相交，位于x軸的上方，所以不等式x2-x+3>0的解集為(-∞，+∞).

由以上例子不難發現，一元二次不等式的解集與一元二次方程的根緊密相關，而二次函數的圖像就相當兩者之間的橋梁.數形結合法很好地解決了它們之間的關系，使得問題的解決變得簡潔化、快捷化.

下面將一元二次不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0的解集列表如下：

方程ax2+bx+c=0的解的情況函數y=ax2+bx+c的圖像不等式的解集

ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0

當Δ>0時，方程有兩不等的根x1，x2(-∞，x1)∪(x2，+∞)(x1，x2)

當Δ=0時，方程有一根x0(-∞，x0)∪(x0，+∞)

當Δ<0時，方程無解R

綜上所述，在教學中我們可以將數形結合法解一元二次不等式ax2+bx+c>0，ax2+bx+c<0(a>0)的一般步驟歸納如下：(1)化成標準形式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).(2)判斷所對應的二次方程的根的情況；如有根，則求出其根.(3)畫出所對應的二次函數的簡圖.(4)根據簡圖寫出不等式的解集.

數形結合思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.數形結合法“以形助數，以數解形”，在一元二次不等式解法教學中要反復強調的兩個問題是：（1）數要求得準確；（2）形要畫得正確（根據中職學生水平只要求他們掌握二次函數簡圖的畫法，圖形力求簡潔）.中職學生數學基礎較差，相當一部分同學連因式分解法解一元二次方程都不會，更不用說畫好二次函數圖像了.所以在本節教學開始之前，務必花時間復習與鞏固一元二次方程的解法和二次函數圖像的畫法.只有這樣才能確保在一元二次不等式解法教學中順利使用數形結合法.

數形結合法有利于提高思維的深刻性，因此數形結合法不應僅僅作為一種解題方法，而應作為一種基本的、重要的數學思想，作為數學知識的精髓，作為將知識轉化為能力的途徑來學習研究和掌握應用.數形結合法要求教師在長期的教學過程中潛移默化地讓學生掌握，僅僅靠幾節課專門講授數形結合法解題的例子，是不能使學生真正理解和掌握數形結合法的.

【參考文獻】

［1］沈文選.中學數學思想方法.長沙：湖南師范大學出版社，1999.

［2］人民教育出版社職業教育中心.數學#8226;提高版（第一冊）.北京：人民教育出版社，2001.

［3］廣東省中等職業學校教材編寫委員會.數學（必修）#8226;上冊.廣州：廣東教育出版社，2007.

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