空間幾何對象在一般平面上投影的常用求法

【摘要】通過實例介紹了空間的點、直線及曲線在一般平面上投影的求法.

【關鍵詞】空間的點；空間直線；空間曲線；投影

基金項目：安徽省高校自然科學基金重點項目（KJ2011A032），安徽工程大學青年基金項目（2009YQ035）和安徽工程大學引進人才科研啟動基金.

在《高等數學》中的第七章“向量代數與空間解析幾何”的教學過程中發現，許多學生對各種空間幾何對象在一般平面上的投影容易混淆，這里根據空間幾何對象的不同對其投影求法進行了分類和總結.

1.空間的點在一般平面上的投影

方法 作過已知點，且與已知平面垂直的直線，該直線與平面的交點即為所求.

例1 求點(-1，2，0)在平面x+2y-z+1=0上的投影.

解 過點(-1，2，0)與平面x+2y-z+1=0垂直的直線為x+11=y-22=z-0-1，將它化為參數方程x=-1+t，y=2+2t，z=-t.

帶入平面，得-1+t+2(2+2t)-(-t)+1=0，

即t=-23.

故點(-1，2，0)在平面x+2y-z+1=0上的投影為-53，23，23.

2.空間直線在一般平面上的投影

方法 作過已知直線的平面束，在該平面束中找出與已知平面垂直的平面，該平面與已知平面的交線即為所求.

例2 求直線2x-4y+z=0，3x-y-2z-9=0在平面4x-y+z-1=0上的投影直線的方程.

解 設過直線2x-4y+z=0，3x-y-2z-9=0的投影平面方程為

2x-4y+z+λ(3x-y-2z-9)=0.

整理，得(2+3λ)x+(-4-λ)y+(1-2λ)z-9λ=0.

又 ∵投影平面與平面4x-y+z-1=0垂直，故

(2+3λ)#8226;4+(-4-λ)#8226;(-1)+(1-2λ)#8226;1=0.

解得λ=-1311.

帶入投影平面方程得投影平面為17x+31y-37z-117=0.

因此投影直線方程為17x+31y-37z-117=0，4x-y+z-1=0.

3.空間曲線在一般平面上的投影

方法 先求空間曲線在平面上的投影柱面方程，投影柱面與該平面的交線即為所求投影.

例3 求曲線Γ：x2+y2+z2-1=0，x2+y2+(z-1)2-1=0在平面π：3x-y+2z+1=0上的投影.

解 在曲線Γ上任取一點M0(x0，y0，z0)，過M0作母線平行于平面π的法向量n(3，-1，2)的柱面，在該柱面上任取一點M(x，y，z)，則MM0∥n.

即x-x03=y-y0-1=z-z02.

將它化為參數方程，得

x=x0+3t，y=y0-t，z=z0+2t.(1)

又 ∵點M0在曲線Γ上，于是

x20+y20+z20-1=0，x20+y20+(z0-1)2-1=0.(2)

由(1)，(2)兩式消去x0，y0，z0及t，得柱面方程為

8x2+8y2+20z2-20z+5-24xz+8yz+12x-4y-20z-1=0.

故投影曲線方程為

8x2+8y2+20z2-20z+5-24xz+8yz+12x-4y-20z-1=0，3x-y+2z+1=0.

【參考文獻】

［1］同濟大學數學教研室.高等數學［M］.北京：高等教育出版社，1996.

［2］費為銀，王傳玉等.高等數學［M］.合肥：中國科學技術大學出版社，2009.

［3］李勇，汪民樂.空間曲線在一般平面上投影方程的求法［J］.高等數學研究，2010，13(2):23-24.

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