探究中考“運動型”問題之“動點”問題

與圖形運動有關(guān)的問題就是研究在圖形運動的過程中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性；就其運動對象而言有點動、線動、面動；就其運動形式而言有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動等.與圖形運動有關(guān)的問題常常集數(shù)與代數(shù)、空間與圖形的知識于一體，有較強的綜合性，題目靈活、多變，動中有靜，動靜結(jié)合，能夠在運動變化中發(fā)展學(xué)生空間想象能力，全面考查學(xué)生的綜合分析和解決問題的能力，是中考命題的熱點，常常在中考中起到甄選的作用.

解決與圖形運動有關(guān)的“動點”問題需要樹立聯(lián)系發(fā)展的動態(tài)觀，用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程.一方面要注意將運動過程中的各個時刻的圖形分類畫圖，由“動”變“靜”；另一方面還要善于抓住在運動過程中某一特殊位置的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系以及特定的限制條件.在求有關(guān)圖形的變量之間關(guān)系時，通常建立函數(shù)模型或不等式模型來求解；求圖形之間的特殊數(shù)量關(guān)系和一些特殊值時，通常建立方程模型求解.

常見的中考“動點”問題一般有單動點或雙點聯(lián)動，運動路徑有直線（射線、線段）或曲線（圓、雙曲線、拋物線）.

1.單點沿線段運動

例1 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O是坐標(biāo)原點，四邊形AOCB是梯形，AB∥OC，點A的坐標(biāo)為（0，8），點C的坐標(biāo)為（10，0），OB=OC.

（1）求點B的坐標(biāo)；

（2）點P從C點出發(fā)，沿線段CO以5個單位/秒的速度向終點O勻速運動，過點P作PH⊥OB，垂足為H，設(shè)△HBP的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，過點P作PM∥CB交線段AB于點M，過點M作MR⊥OC，垂足為R，線段MR分別交直線PH，OB于點E，G，點F為線段PM的中點，連接EF.當(dāng)t為何值時，EFEG=52?

解析 此題將一次函數(shù)、三角函數(shù)、直角坐標(biāo)系、運動、相似三角形等知識比較自然地聯(lián)系起來，三個問題之間層層深入，并且前一個問題的結(jié)論能夠為后一個問題的解決以良好的知識鋪墊，同時第（2）問將動點問題與圖形的面積問題有效地結(jié)合起來，考查了學(xué)生計算能力，空間想象能力，而第（3）問巧妙地利用了直角梯形、平行四邊形這些特殊圖形結(jié)構(gòu)，有效地將線段中點知識蘊含于動點問題中，不僅考查了學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解，同時有計算、有探究，有分類，有效地考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力.此題是以動點問題與其他數(shù)學(xué)知識相結(jié)合構(gòu)造的綜合題，有一定的層次性，也滲透了函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合以及分類討論思想等.

2.單點沿圓運動

例2 如圖，⊙O的半徑為1，正方形ABCD頂點B坐標(biāo)為（5，0），頂點D在⊙O上運動.

（1）當(dāng)點D運動到與點A，O在同一條直線上時，試證明直線CD與⊙O相切；

（2）當(dāng)直線CD與⊙O相切時，求CD所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（3）設(shè)點D的橫坐標(biāo)為x，正方形ABCD的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值與最小值.

解析 第（1）問將動點D靜止在直線AO上，因為A，D，O三點在同一條直線上，∠ADC＝90°，所以∠CDO＝90°，所以CD是⊙O的切線.此問巧妙地考查了正方形的基本性質(zhì)、鄰補角的性質(zhì)、圓的切線判定方法.第（2）問給出條件“直線CD與⊙O相切”，由于點D是一個動點，必然考慮多種情況，根據(jù)點D所在象限不同分類討論可以得到如下兩種：①當(dāng)切點D在第四象限時，OD所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝－34x；②當(dāng)切點在第二象限時，OD所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝-43x.第（3）問考查了勾股定理、正方形面積=對角線積的一半，得到正方形的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S＝13－5x.又∵D點在圓上運動，∴-1≤x≤1.∴S的最大值是18，最小值是8.由于點D是一個動點橫坐標(biāo)－1≤x≤1，利用一次函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍可以確定S的最大值與最小值.

3.單點沿拋物線運動

例3 如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A(1，0)和點B(－3，0)，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標(biāo).

解析 第（1）問考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，通過解二元一次方程組確定拋物線的解析式.第（2）問按等腰三角形頂點位置分類討論畫圖再由圖形性質(zhì)求點P坐標(biāo)①C為頂點時，以C為圓心，CM為半徑畫弧，與對稱軸交點即為所求點P，②M為頂點時，以M為圓心MC為半徑畫弧，與對稱軸交點即為所求點P，③P為頂點時，線段MC的垂直平分線與對稱軸交點即為所求點P.第（3）問方法一，先寫出面積函數(shù)關(guān)系式，再求最大值（涉及二次函數(shù)最值）；方法二，先求與BC平行且與拋物線相切點的坐標(biāo)（涉及簡單二元二次方程組），再求面積.

4.雙點沿射線聯(lián)動

例4 在△ABC中，∠B=60°，BA=24 cm，BC=16 cm.現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿射線AB向點B方向運動;動點Q從點C出發(fā)，沿射線CB也向點B方向運動.如果點P的速度是4 cm/秒，點Q的速度是2 cm/秒，它們同時出發(fā)，求:

（1）幾秒鐘以后，△PBQ的面積是△ABC的面積的一半?

（2）這時，P，Q兩點之間的距離是多少？

解析 第(1)問首先“動中取靜”將P，Q位置固定（如圖所示），然后根據(jù)題意用含t的代數(shù)式表示線段長度，CQ=2t，AP=4t，利用三角函數(shù)表示出高，根據(jù)三角形面積公式和“△PBQ的面積是△ABC的面積的一半”， 列出方程2×12(16-2t)(24-4t)#8226;sin60°=12×16×24×sin６0°，解方程得t1=2，t2=12.所以2秒和12秒均符合題意.

第(2)問需要分類討論，分成t=2和t=12兩種情況：當(dāng)t=2時，BQ=12，BP=16，在△PBQ中，作QQ′⊥BP于Q′，在Rt△QQ′B和Rt△QQ′P中，QQ′=63，BQ′=6，所以PQ′=10，PQ=413;當(dāng)t=12時，BQ1=8，BP=24，同理可求得P1Q1=87.本題考查了用一元二次方程、三角函數(shù)等有關(guān)知識進行幾何圖形的面積計算方法.

5.雙點沿線段聯(lián)動

例5 在ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD.一動點P從A出發(fā)，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PM⊥AD.

(1)當(dāng)點P運動2秒時，設(shè)直線PM與AD相交于點E，求△APE的面積；

(2)當(dāng)點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線運動，且在AB上以每秒1 cm的速度勻速運動，在BC上以每秒2 cm的速度勻速運動.過Q作直線QN，使QN∥PM.設(shè)點Q運動的時間為t秒(0≤t≤10)，直線PM與QN截ABCD所得圖形的面積為S cm2.①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；②(附加題)求S的最大值.

解析 第（1）問比較簡單，就是一個靜態(tài)問題當(dāng).第（2）問就是一個動態(tài)問題了，題目要求面積與運動時間的函數(shù)關(guān)系式，這就需要我們根據(jù)題目，綜合分析，分類討論，P點從A→B→C一共用了12秒，走了12 cm，Q點從A→B用了8秒，B→C用了2秒，所以t的取值范圍是0≤t≤10.當(dāng)0≤t≤6時，點P與點Q都在AB上運動；當(dāng)6≤t≤8時，點P在BC上運動，點Q仍在AB上運動；當(dāng)8≤t≤10時，點P和點Q都在BC上運動.其中的不變量是P，Q點走過的總路程都是12 cm，P點的速度不變，所以AP始終為：t+2.本題解題關(guān)鍵動中取靜，尋找變量和不變的量，利用圖形面積公式寫出二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

總之，解決“動點”問題的基本策略是把握圖形的運動規(guī)律，尋求圖形運動的一般與特殊位置關(guān)系，在“動”中探求“靜”的本質(zhì)，在“靜”中探求“動”的規(guī)律.在“動”中建立變量之間的函數(shù)關(guān)系，在“靜”中利用函數(shù)關(guān)系解決圖形問題.經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思想是方程思想、分類討論思想以及函數(shù)思想，抓住變化中的“不變”，以“不變”應(yīng)“萬變”.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文