例析二次函數(shù)的圖像變換

【摘要】圖形的平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)常見于直線形中，在曲線形——圓中也偶有所見.然而，也有以二次函數(shù)圖像為背景的圖形變換，它的一些性質(zhì)與直線形的圖形變換有許多相通之處.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；圖像；變換

直線形的圖形變換性質(zhì)對(duì)于拋物線的變換同樣適用，只不過拋物線的旋轉(zhuǎn)在初中階段只能研究旋轉(zhuǎn)k#8226;180°（k為自然數(shù)）的情形.

二次函數(shù)y=a(x+m)2+k的圖像被平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖像的形狀不變，而開口方向要么相同，要么相反，即二次項(xiàng)系數(shù)|a|不變，變化的只是它的位置，即關(guān)鍵是頂點(diǎn)(-m，k)位置的改變.對(duì)于拋物線的幾種變換，可以歸結(jié)為：一看頂點(diǎn)位置，二看開口方向.

下面列舉拋物線的平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)問題的求解策略.

一、拋物線的平移

一般地，拋物線的平移有以下規(guī)律：

其中：m——正左、負(fù)右；k——正上、負(fù)下.

例1 已知y=2x2的圖像是拋物線，若拋物線不動(dòng)，把x軸、y軸分別向上、向右平移2個(gè)單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是().

A.y=2(x-2)2+2

B.y=2(x+2)2-2

C.y=2(x-2)2-2

D.y=2(x+2)2+2

解析 反其道而行之，即將y=2x2的圖像分別向下和向左平移2個(gè)單位即可.選B.

二、拋物線的軸對(duì)稱

我們知道，拋物線y=a(x+m)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-m，k)，拋物線在對(duì)稱過程中僅僅是頂點(diǎn)坐標(biāo)改變，方向相同或相反.由于點(diǎn)(-m，k)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(m，k)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(m，k).所以，可得拋物線y=a(x+m)2+k關(guān)于x軸對(duì)稱（開口方向相反）的圖像是y=-a(x+m)2-k，關(guān)于y軸對(duì)稱（開口方向相同）的圖像是y=a(x-m)2+k.

例2 作拋物線A關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線B，再將拋物線B向左平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線C的函數(shù)解析式是y=2(x+1)2-1，則拋物線A所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是().

A.y=-2(x+3)2-2

B.y=-2(x+3)2+2

C.y=-2(x-1)2-2

D.y=-2(x-1)2+2

解析 將拋物線C：y=2(x+1)2-1向下平移1個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，得拋物線B：y=2(x-1)2-2；再將B關(guān)于x軸對(duì)稱，得拋物線A：y=-2(x-1)2+2.故選D.

更一般地，拋物線y=a(x+m)2+k關(guān)于直線y=e（與x軸平行）對(duì)稱的拋物線為y=-a(x+m)2+(2e-k)；拋物線y=a(x+m)2+k關(guān)于直線x=f（與y軸平行）對(duì)稱的拋物線為y=a［(x-(2f+m)］2+k.

三、拋物線的旋轉(zhuǎn)

這里僅討論拋物線旋轉(zhuǎn)180°的情形.繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，即關(guān)于某點(diǎn)中心對(duì)稱.已知點(diǎn)(-m，k)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(m，-k)，所以拋物線y=a(x+m)2+k繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后所得的拋物線為y=-a(x-m)2-k.

例3 將拋物線y=x2-2x+3繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，則所得的拋物線的函數(shù)解析式為.

解析 將拋物線y=x2-2x+3化為y=(x-1)2+2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2).頂點(diǎn)(1，2)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后為(-1，-2)，所以，旋轉(zhuǎn)后的拋物線為y=-(x+1)2-2.

實(shí)際上，拋物線的旋轉(zhuǎn)中心不僅限于坐標(biāo)原點(diǎn)，而具有更一般的規(guī)律.(-m，k)關(guān)于點(diǎn)(e，f)的中心對(duì)稱點(diǎn)是(2e+m，2f-k)，所以y=a(x+m)2+k關(guān)于點(diǎn)(e，f)的中心對(duì)稱的拋物線為y=-a［x-(2e+m)］2+(2f-k).具體如y=(x-1)2+2關(guān)于點(diǎn)(2，3)中心對(duì)稱所得的拋物線為y=-(x-3)2+4.

綜上可見，拋物線的圖像變換遵循一般直線形的變換規(guī)律，而又有其自身的特點(diǎn).只有深入理解直線形圖形變換的規(guī)律和性質(zhì)，才能在分析拋物線的圖像變換時(shí)做到有效遷移，求解問題時(shí)有的放矢，左右逢源，真正地做到具體情況具體分析，舉一隅而三反.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文