函數的性態分析與數項級數斂散性的研究

【摘要】函數的凹凸性在一定條件下，對一些數項級數的斂散性的判別有一定的優化性.

【關鍵詞】凹（或凸）函數；數項級數；斂散性

在高等數學課程中，對函數性態的分析著重應用于對函數的性質、圖像的研究.作者在教學實踐中發現，在一定條件下，具有凹凸性的函數的一些特性與某些數項級數的斂散性有著一定的聯系，并且對于數項級數的斂散性的判別有著比較優化的方法，本文就［a，+∞)上具有凹凸性的函數在數項級數中某些應用進行一些探究.

在大多數高等數學教材中，函數f(x)的凹凸性是指：設函數f(x)在(a，b)內可導，若曲線y=f(x)位于每點處切線的上方或下方，則稱曲線在(a，b)內是凹的（向下凸）或凸的（向上凸）.我們也稱y=f(x)是凹（或凸）函數.一般情況下，當(a，b)換成無窮區間也可以類似定義：

如果將b改換成+∞，f(a)存在，有f(a)=limx→a+f(x)且仍滿足上述條件，就說函數f(x)在［a，+∞)上是凹（或凸）函數.

如，f(x)=11+x在［1，+∞)上是凹的函數；f(x)=ln(x+1)在［1，+∞)上是凸函數.

由函數f(x)在［a，+∞)的凹凸性我們不難得出下面一些結論：

（1）凹（或凸）函數的導函數是單調函數.

（2）設f(x)在［a，+∞)內是凹減函數（凸增函數），則limx→+∞f′(x)=f′(+∞)存在.

（3）對于［a，+∞)內的凹（或凸）函數，存在自然數N≥a，使函數f(x)在［N，+∞)上是單調的.

（4）對于［a，+∞)內的凹（或凸）函數f(x)，任取兩點x1，x2∈［a，+∞)，且x1

在討論［a，+∞)上的凹（或凸）函數應用于數項級數斂散性的判別時，為了敘述上的簡便，由上述結論（3），我們不妨假設在區間［1，+∞)上來研究函數的凸凹性與數項級數斂散性的一些關系.

關聯一 設f(x)是［1，+∞)上的凹（或凸）函數，且f′(+∞)存在，則有級數∑∞k=1uk收斂，其中uk=f(k)+f(k+1)2-∫k+1kf(x)dx.

事實上，由于f′(x)是［1，+∞)上的單調函數，則有

uk=12f(k)+f(k+1)-2∫k+1kf(x)dx

=12f(k)+f(k+1)-2∫k+1k［f(k)+(x-k)f′(ξ1)］dx

=12|f(k+1)-f(k)-f′(ξ1)|

=12|f′(ξ2)-f′(ξ1)|

≤12|f′(k+1)-f′(k)|(ξ1，ξ2∈(k，k+1)).

若f(x)是凹函數，有f′(k+1)≥f′(k)，

∑nk=1uk≤12(f′(n+1)-f′(1))≤12(f′(+∞)-f′(1))；

若f(x)是凸函數，有f′(k+1)≤f′(k)，

∑nk=1uk≤12(f′(1)-f′(n+1))≤12(f′(1)-f′(+∞)).

所以級數∑∞k=1uk收斂.

由上述關系直接推論出下述兩個結論：

（1）對于凹（或凸）函數f(x)，若f′(x)≥0(≤0)，f″(x)≤0(≥0)，x∈［1，+∞)，則級數∑∞k=1uk收斂.

（2）設f(x)是［1，+∞)上的凹（或凸）函數，且f′(+∞)存在，數列uk=f(k)+f(k+1)2-∫k+1kf(x)dx(k=1，2，3，…)收斂且limk→∞uk=0.

由于級數∑∞k=1uk的條件較嚴格，關聯一及其推論不適宜直接應用于具體級數的斂散性的判別，但由其可以推出如下具有較強應用性的結論.

關聯二 設f(x)是［1，+∞)上的凹（或凸）函數，且f′(+∞)存在，則級數∑∞k=1f(k)與∫+∞1f(x)dx斂散性相同.

事實上，記∑∞k=1uk=∑∞k=1f(k)+f(k+1)2-∫k+1kf(x)dx.

由關聯一可知，級數∑∞k=1uk收斂.

當f(x)為凹函數時，f′(x)遞增且有

f(k)+f(k+1)2≥∫k+1kf(x)dx，

即∑∞k=1uk=∑∞k=1f(k)+f(k+1)2-∫+∞1f(x)dx.

當f(x)為凸函數時，f′(x)遞減且有

f(k)+f(k+1)2≤∫k+1kf(x)dx，

即∑∞k=1uk=∫+∞1f(x)dx-∑∞k=1f(k)+f(k+1)2.

故∑∞k=1f(k)+f(k+1)2與∫+∞1f(x)dx斂散性相同.

又因為當x充分大時，f(x)為可不變號的單調函數，f(k)+f(k+1)2介于f(k)與f(k+1)之間，所以∑∞k=1f(k)+f(k+1)2與∑∞k=1f(k)的斂散性是一致的，故∑∞k=1f(k)與∫+∞1f(x)dx斂散性相同.

由上述關聯直接推論出下述兩個結論：

（1）設f(x)是［1，+∞) 上的凸增負函數（凹減正函數），則∑∞k=1f(k)與∫+∞1f(x)dx斂散性相同.

此時，如果limk→∞f(k)≠0，∑∞k=1f(k)是發散的；limk→∞f(k)=0，∑∞k=1f(k)才有可能收斂.

（2）設f(x)是［1，+∞)上的凹增正函數（凸減負函數），則∑∞k=1f(k)與∫+∞1f(x)dx均發散.

由下例可以看出此關系對于判定級數斂散性的簡便性：

例1 討論級數∑∞n=21n(lnn)(ln lnn)p的斂散性.

由于級數所對應的積分式為∫+∞21x(lnx)(ln lnx)pdx，

而∫+∞21x(lnx)(ln lnx)pdx=11-p(ln lnx)1-p+∞2，

當p>1時，收斂；當0≤p≤1時，發散.

故可知：級數∑∞n=21n(lnn)(ln lnn)p，

當p>1時，收斂；當0≤p≤1時，發散.

關聯三 設f(x)是［1，+∞)上的凹（或凸）函數，且f′(+∞)存在，則數列un=∑nk=1f′(k)-f(n)(n=1，2，3，…)是收斂的.

事實上：由于un=f′(n)+∑n-1k=1［f′(k)-f(k+1)+f(k)］-f(1).

所以數列{un}與數列：∑n-1k=1uk=∑n-1k=1［f′(k)-f(k+1)+f(k)］有相同的斂散性.

由于|f′(k)-f(k+1)+f(k)|≤|f′(k)-f′(k+1)|，由關聯一可知，數列∑n-1k=1uk是收斂的，故數列{un}是收斂的.

從下例可以看出此關系應用于級數斂散性判定的優化性：

例2 f(x)=ln(x+1)在［1，+∞)是凸函數，有(ln(x+1))′=1x+1，且limx→+∞1x+1=0.

故由關聯三可知數列：

un=12+13+…+1n+1-ln(n+1)(n=1，2，3，…)是收斂的.

例3 f(x)=1x+1在［1，+∞)上是凹函數，有1x+1′=-1(x+1)2，且limx→+∞-1(x+1)2=0.

故由關聯三可知數列：

un=-122-132-…-1(n+1)2-1n+1(n=1，2，3，…)是收斂的.

例4 我們可以利用關聯三來判斷數列122+123+…+12n+1(n=1，2，3，…)是發散的.

∵f(x)=x+1在［1，+∞)是凸函數，有(x+1)′=12x+1，

且limx→+∞12x+1=0，由關聯三可知數列

un=122+123+…+12n+1-n+1(n=1，2，3，…)是收斂的.

又 ∵limn→+∞n+1不存在，

可知數列122+123+…+12n+1(n=1，2，3，…)發散.

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