論特殊點在函數解題中的作用

特殊點的定義：在函數關系式中起特殊作用的點.一般說來，就是那些能使函數值為零的點，或者說能使函數值正負發生改變的點，亦即函數圖像與橫軸的交點；能使函數單調性發生改變的點，即極值點或最值點，亦即函數圖像上最高點或最低點；區間或定義域的端點；兩函數圖像的交點.

特殊點在解題中有重要的作用:①函數單調性的分界點.②函數值或代數式值的正負的分界點.③兩函數值比大小的參照點.

解題策略：結合函數圖像和函數關系式，先找特殊點，再分析特殊點在問題中的作用，找到解題途徑.

例1 已知函數f(x)=sinx-cosx(x∈R).

(1)若f(x)在x=x0處取得最大值，求f(x0)+f(2x0)+f(3x0)的值.

(2)若g(x)=ex(x∈R)，求證：f(x)=g(x)在區間［0，+∞）內沒有實數解.（參考數據：ln2=0.69，π≈3.14）

解 （1）略.

（2）易知f(x)=2sinx-π4.

從圖像上可以看到，g(x)=ex在區間［0，+∞）內的圖像上有最低點（0，1）.f(x)=2sinx-π4在區間［0，+∞）上有特殊點最低點（0，-1），零點π4，0，最高點3π4，2.

我們可以看出零點π4，0是一個非常重要的點，在它和原點之間，f(x)<0，g(x)＞0，此時有f(x)

通過以上的分析可以看出該問題的證明分兩步：先說明區間0，π4上f(x)<0，g(x)＞0，此時方程f(x)=g(x)無實數解；再說明在區間π4，+∞上g(x)min=eπ4，f(x)max=2，其次要說明eπ4＞2，就可以說明f(x)

從該解題過程中，我們可以看到特殊點的作用.①零點π4，0以前f(x)<0，g(x)＞0；②零點π4，0以后f(x)

例2 函數f(x)=x3-3tx+m(x∈R，m，t均為常數)是奇函數.

（1）求實數m的值和函數f(x)的圖像與橫軸的交點坐標.

（2）設g(x)=|f(x)|，x∈［-1，1］，求g(x)的最大值F(t).

解 （1）解法從略.(m=0)，f(x)=x3-3tx.

（2）由于函數f(x)在區間［-1，1］上為奇函數，所以函數g(x)=|f(x)|為該區間［-1，1］上的偶函數，故只需考慮區間［0，1］上函數f(x)和g(x)的特性.求導，f′(x)=3x2-3t=3(x2-t).

當t≤0時，f′(x)≥0，∴f(x)在區間［0，1］上單調遞增.又∵f(0)=0，∴f(x)≥0.故f(x)max=f(1)=1-3t（在該步驟中，點（0，0）和（1，f(1)）是特殊點，其中點（0，0）和單調遞增決定了f(x)在［0，1］上大于等于零，其圖像在x軸上方；點（1，f(1)）是該段圖像的最高點，故函數在區間［0，1］上的最大值為f(1)=1-3t.

當t＞0時，f′(x)=3x2-3t=3(x2-t)=3（x-t）(x+t），所以函數f(x)在區間［0，t］上單調遞減，在區間［t，+∞］上單調遞增.另外，在區間［0，+∞）上，函數f(x)=x3-3tx=x(x2-3t)=x(x+3t)(x-3t)，此時f(x)的圖像與橫軸的交點坐標為（0，0），（3t，0）.

①當0

②當0

③當t≥1，即t≥1時，F（x）=3t-1. 故得結論（略）.

在該步驟中，點（0，0），（1，0），（0，t），（3t，0）都是特殊點，其中點（0，0），（3t，0）是函數圖像與x軸的交點，該兩點可以改變函數值的正負；點（0，t）改變了函數的單調性；定點（1，0）是區間的端點；點（0，t）和（3t，0）是隨t值改變而動的動點.它們可以都在區間［0，1］內，亦可以都在區間［0，1］外，也可以一個在區間［0，1］內，另一個在區間［0，1］外；這兩個特殊點的變動，引起了函數單調區間長度的變化，同時引起了函數值正負的變化，及函數的圖像在區間［0，1］上是否越過了x軸，從而為取絕對值做好了基礎.當點（0，t）和（3t，0）都位于區間［0，1］內時，就要看點（t，f(t)），(3t，f(3t))哪一個到x軸距離遠，即就要比較-f(t)和f(3t)的大小.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文