常用離散型分布產生的背景

【摘要】常用分布是概率論的重要內容，通過常用分布的具體模型可以引導學生理解隨機變量的統計規律性.而現行的概率論教材，只是簡單介紹常用分布的定義、性質、應用，少有對它們產生背景的講解.針對于此，本文介紹七種常用離散型分布產生的背景.

【關鍵詞】離散型分布；背景

伯努利試驗(Bernoulli Jakob，1654~1705)是指只有兩種可能結果（A或A）的隨機試驗.例如拋擲硬幣，出現正面或反面；抽檢產品，出現合格品或不合格品.伯努利試驗獨立、重復地進行n次，稱此試驗序列為n重伯努利試驗.伯努利試驗是幾種常用離散型分布產生的基礎.

1.伯努利分布(Bernoulli distribution)

在一次伯努利試驗中，令X表示事件A發生的次數，即X=1，A發生，0，A沒發生，稱X為伯努利計數變量.若記P(A)=p，P(A)=q(p+q=1)，則X的分布為0 1q p，稱為伯努利分布（又稱0-1分布或二點分布），記為X~B(1，p).

2.二項分布(binomial distribution)

在n重伯努利試驗中，令X表示事件A發生的次數，則X的分布為P(X=k)=Cknpkqn-k(k=1，2，…，n).因Cknpkqn-k是二項式(q+p)n展開式中的第k+1項，故稱為二項分布，記為X~B(n，p).易見n=1時，二項分布即是伯努利分布.

3.幾何分布(geometric distribution)

在伯努利試驗序列中，令X表示事件A首次發生時完成的試驗次數，則X的分布為P(X=k)=pqk-1(k=1，2，…).因pqk-1是幾何級數∑∞k=1pqk-1的一般項，故稱為幾何分布，記為X~Ge(p).幾何分布是一種“等待分布”，可以描述系統中第一個質點（信息、命令、故障等）出現的時刻.如網絡上某個網站第一次發出某個信息的時刻、一個電子元件第一次出現故障的時刻等.

4.帕斯卡分布（Pascal distribution）

在伯努利試驗序列中，令X表示事件A發生r次時完成的試驗次數（r為事先給定的正整數），則X的分布為P(X=k)=Cr-1k-1prqk-r(k=r，r+1，…)，稱為帕斯卡（Pascal Blaise，1623~1662）分布.此分布的系數Cr-1k-1（r=1，2，…；k=r，r+1，…）與“帕斯卡三角”（即“楊輝三角”或“賈憲三角”，是數字組成的三角形陣列，它呈現了二項式展開式各項系數的規律）相對應.為紀念這位著名的數學家，稱此分布為帕斯卡分布.帕斯卡分布也是一種“等待分布”，可以描述系統中第r個質點出現的時刻.易見r=1時，帕斯卡分布即是幾何分布Ge(p).

5.負二項分布(negative binomial distribution)

在伯努利試驗序列中，試驗進行到事件A發生r次時停止，這時事件A沒發生的試驗次數X的分布為P（X=i）=Cr-1i+r-1prqi（i=0，1，2，…）(*)，稱為負二項分布，記為X~Nb(r，p).由負指數二項展開式(1-x)-r=∑∞i=0Ci-r(-x)i=∑∞i=0Cii+r-1xi=∑∞i=0Cr-1i+r-1xi，令x=1-p，可得p-r=∑∞i=0Cr-1i+r-1qi，則證得∑∞i=0P(X=i)=∑∞i=0Cr-1i+r-1prqi=1，即(*)式是隨機變量X的概率分布.因利用負指數二項展開式證得，故稱為負二項分布.容易看出，負二項分布與帕斯卡分布既有聯系又有區別，在很多概率教材中，把它們稱為一種分布，筆者認為有所不妥.負二項分布常用于描述生物群聚性，醫學上用來描述傳染性或非獨立性疾病的分布和致病生物的分布.

6.泊松分布(Poisson distribution)

若隨機變量X的概率分布為P(X=k)=λkk!e-λ，k=0，1，2，…，稱為泊松分布，記為X~P(λ).泊松分布是泊松（Poisson SiméonDenis，1781~1840）在《關于刑事案件和民事案件審判概率的研究》(Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matièrecivile，1837)著作中提出的.泊松研究了服從二項分布的隨機變量序列Xn~B(n，pn)（n=1，2，…）在附加約束條件limn→∞npn=λ>0（λ為常數）之下的極限狀態，發現n→∞時，Cknpkn(1-pn)n-k→λkk!e-λ，即泊松定理（二項分布的泊松近似）.社會生活中的很多現象可以用泊松流來描述，如網站在一段時間內收到的點擊數、電話交換臺收到的呼喚數、交通樞紐的客流和車流、放射性分裂等，所以泊松分布的應用非常廣泛.

7.超幾何分布(hypergeometric distribution)

設有N個產品，其中有M個不合格品.從中不放回的隨機抽取n個，則其中含有的不合格品的個數X的概率分布為P(X=k)=CkMCn-kN-MCnN(k=0，1，…，r;r=min{M，n}).因∑∞k=0CkMCn-kN-MCnN是超幾何級數，故稱為超幾何分布，記為X~H(n，N，M).若試驗采用放回抽樣方式，則X的概率分布為P(X=k)=CknMNk1-MNn-k，即二項分布.所以在產品檢驗中，用超幾何分布描述不放回抽樣的情況，用二項分布描述放回抽樣的情況.容易理解，當N（產品總數）充分大時，不放回抽樣與放回抽樣是差不多的.即X~H(n，M，N)，則N→∞時，Xa~Bn，MN.

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