淺談對勾函數(shù)y=x+a/x(a>0)的魅力

【摘要】對勾函數(shù)是高中數(shù)學(xué)階段中一種常見而又特殊的函數(shù)，利用對勾函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決有關(guān)最值等問題顯得簡捷而準確.

【關(guān)鍵詞】對勾函數(shù)；圖像；性質(zhì)；應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我們會經(jīng)常碰到形如y=x+ax(a>0)的函數(shù)，因其圖像與對勾“√”很相似，故稱為對勾函數(shù).它是一種教材上沒有，但是考試出現(xiàn)頻率很高的函數(shù).因此筆者對它進行了仔細地分析和認真地研究.

一、對勾函數(shù)y=x+ax(a>0)的性質(zhì)

1.定義域為{x|x≠0}.

2.值域為(-∞，-2a］∪［2a，+∞）.

3.借助作圖軟件可以作出對勾函數(shù)的圖像.結(jié)合圖像，我們得到對勾函數(shù)的以下性質(zhì)：

（1）單調(diào)性: f(x)的增區(qū)間為(-∞，-a］和［a，+∞)，減區(qū)間為(-a，0)和(0，a)；

（2）奇偶性:對勾函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱；

（3）漸進線:y軸和直線y=x；

（4）極值：當x=-a時，函數(shù)有極大值-2a;當x=a時，函數(shù)有極小值2a.

二、對勾函數(shù)y=x+ax(a>0)的應(yīng)用

對勾函數(shù)是一個十分重要的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著極為廣泛的應(yīng)用，尤其在求函數(shù)最值時應(yīng)用較多，而且簡便有效.

例1 求函數(shù)y=x+2x在x∈13，5時的值域.

（由該題說明用對勾函數(shù)解決此類問題的基本步驟.）

第一步:畫出對勾函數(shù)y=x+2x，x>0時的圖像；

第二步:找到“√”的最低點的橫坐標x=2；

第三步:確定定義域所在圖像；

第四步:根據(jù)圖像，可得x∈13，5，當x=2時，函數(shù)取得最小值22，由f13=193，f(5)=275，得f13=193最大.所以所求函數(shù)的值域為22，193.

例2 求函數(shù)y=x2+4+1x2+4的最小值.

分析 此題不能運用均值不等式求最值，因為等號條件不成立.

解 令t=x2+4，則t≥2.

則y=t+1t，由對勾函數(shù)的性質(zhì)，y=t+1t在［1，+∞)上單調(diào)遞增，所以當t∈［2，+∞)時，函數(shù)最小值為2+12=52.

例3 已知x≤45，求函數(shù)y=16x2-28x+114x-5的最大值.

分析 有些函數(shù)，表面上看并不是對勾函數(shù)，但可以通過適當變形，化成對勾函數(shù).

解 設(shè)4x-5=t，則x=5+t4.

∵x≤45，∴t≤-95，∴y=t2+3t+1t=t+1t+3.

設(shè)g(t)=t+1t，則g(t)在-∞，-95上為增函數(shù)，所以y最大值為-95-59+3=2945.

例4 設(shè)a>1，a，θ均為實數(shù)，試求當θ變化時，函數(shù)(a+sinθ)(4+sinθ)1+sinθ的最小值.

解 原式=［(1+sinθ)+(a-1)］［（1+sinθ)+3］1+sinθ

=(1+sinθ)+3(a-1)1+sinθ+(a+2).

令y=(1+sinθ)+3(a-1)1+sinθ，x=1+sinθ，

則y=x+3(a-1)x(a>1，0

根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，按極小值點(3(a-1)，23(a-1))的橫坐標分兩類情況進行討論:

（1）當3(a-1)∈(0，2］，即1

（2）當3(a-1)>2，即a>73時，ymin=y(2)=2+3(a-1)2=3a+12.

由于原式=y+(a+2)，則當173時，原式的最小值是52(a+1).

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文