探索數學反思學習的途徑

著名心理學專家林崇德教授認為：一個學習好的學生，應該是善于反思學習的學生.學生在學習過程，如何進行反思學習？通過我與學生共同學習、觀察、研究，對反思學習的途徑進行探討.

一、學習的有效性反思

1.從數學基礎知識學習進行反思

數學基礎知識的學習，既要全面又要突出重點，并要注重知識點之間的內在聯系.因此對基礎知識進行反思學習就要善于比較、辨析、總結、歸納，尋找知識點之間的區別和聯系，讓知識點條理化、系統化.例如，我們學習了指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等好幾種不同類型的函數，于是我們把它對比著總結一下，發現無論哪種函數，我們需要掌握的都是它的表達式、圖像形狀、函數性質（奇偶性、增減性、對稱性、最值等）.對比著進行理解和記憶，在解題時注意這些函數關系結合使用，收到較好的效果.

2.從數學基本技能與方法應用進行反思

數學基本技能與方法是在學習過程中進行反思學習獲得的經驗體會，并加以運用掌握形成的技能與方法.例如利用湊角法求三角函數最值可作如下反思：

例1 求函數y=12sinx+32cosx的最大值.

解 函數轉化為y=sinxcosπ3+cosxsinπ3=sinx+π3，所以當x+π3=π2+2kπ，(k∈Z)，函數y=12sinx+32cosx的最大值為1.

反思 ①把12，32實數形式化為三角函數形式的目的是什么？怎樣打破常規逆用了三角函數值形式？②如何構成了三角函數的恒等式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，并進行逆用？③在轉化成形如y=Asinx+B時，利用什么求最大值？能求最小值嗎?④解題的基本思想是構造三角函數，有什么特點？⑤解題的基本思想是運用轉化思想，逆向思維，還能構成其他的形式嗎？⑥能設計一個試一試嗎？如求y=cosx-sinx的最小值與最大值.⑦能概括成一般的方法嗎？

二、解題的實踐性反思

1.從解題的探索過程方面進行反思

數學解題的探索過程是學習者反思學習所得的實踐過程.審題是數學解題的重要環節，重視審題并學會審題，才能盡快地生成解題思路，也才能不斷地提高解題的水平.審題過程可以從以下幾個方面進行反思：①觀察問題，觀察問題不僅要“觀”，更重要的是“察”：觀察什么，怎么樣觀察，觀察怎么樣記錄，一次觀察什么，二次觀察什么等許多方面.②聯想問題，通過觀察，由淺入深，由整體到部分，由形式結構到相互之間的聯系等許多方面，對題目進行解讀，近一步抓住問題的本質，讓問題向有利于解決的方向發展.③轉化問題，在觀察、聯想的基礎上尋找自己已有的解題模式，把問題轉化為已有的模式進行解決.例如：

例2 求方程sinx=lgx的解有個.

反思 聯想已學知識，轉換思維角度發現此題的本質為求方程組y=sinx，y=lgx的公共解的個數，因而運用數形結合思想轉化為求函數圖像交點問題進行求解.

2.從解題的突破口進行反思

解答數學題常選擇一個容易攻克的突破口，作為解題的切入點，由點及面，逐步解決所有問題.怎樣尋找解題突破口，也需要進行反思.

例3 已知拋物線在y軸上的截距為3，對稱軸為直線x=-1，在x軸上截得線段長為4，求拋物線方程.

反思解題的突破口如下:

突破口一 從拋物線在y軸上的截距為3思考，可選擇一般式方程y=ax2+bx+c(a≠0)，顯然有c=3，利用其他條件可列方程組求a，b的值.

突破口二 從對稱軸為直線x=-1思考，可選擇頂點式方程y=a(x-m)2+k(a≠0)，顯然有m=-1，利用其他條件可列方程組求a，k的值.

突破口三 從圖像經過三點思考，即過三點(0，3)，(1，0)和(-3，0)，可選擇一般式方程y=ax2+bx+c(a≠0)，代入點坐標，列方程組求a，b，c的值.

反思解題突破口的探求，經常體會到：在把握整體的前提下，側重某一條件作為解題突破口，調動相關知識、技能來尋找解題途徑.

3.從解題的結論進行反思

解答數學題，還要從結論中去反思解決問題的方法如何獲得，反思是否還有更好的方法，學會總結自己解決問題的經驗、突破困境的體會、尋找突破口的啟發等，努力培養自己的解題能力.

4.從解題的思維品質進行反思

思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現，它包括思維的嚴密性、靈活性、深刻性、批判性和敏捷性等品質.

例4 求函數y=4x-5+2x-3的值域.

錯解 令t=2x-3，則2x=t2+3.

∴y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1

=2t+142+78≥78.

故所求的函數值域是78，+∞.

反思 經換元后，應有t≥0，故所求的函數值域是［1，+∞）.學會從解題的思維品質方面去反思，不斷去培養自己，才會超越自我.

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