積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的融合與應(yīng)用

【摘要】作為中學(xué)教師，除掌握中學(xué)數(shù)學(xué)各種類型題的已熟知的初等方法外，還應(yīng)善于用高等數(shù)學(xué)方法解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題，特別是一些用初等數(shù)學(xué)方法難以解決或雖能解決但顯得難、繁，而用高等數(shù)學(xué)方法則易于解決的中學(xué)數(shù)學(xué)問題，從而拓廣解題思路和技巧，提高教師專業(yè)水平，促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).

【關(guān)鍵詞】積分；中學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用

1.不等式與恒等式的證明

不等式與恒等式的證明方法多種多樣，沒有較為統(tǒng)一的方法，往往需要較高的技巧.利用微積分的知識(shí)和方法，例如微分中值定理、函數(shù)的增減性、極值判定法等來證明，可簡(jiǎn)化證明過程，降低技巧性.

例1 證明不等式sinx>2πx，0

證明 設(shè)f(x)=sinxx，顯然有fπ2=2π.

而f′(x)=xcosx-sinxx=cosxx2(x-tanx)，由于當(dāng)00及tanx是在此區(qū)間內(nèi)f′(x)<0.

∴函數(shù)f(x)在區(qū)間0，π2內(nèi)是遞減的.

因而，當(dāng)0fπ2，

即sinxx>2π，02πx，0

例2 試證：當(dāng)x≤-1時(shí)，有2arctanx+arcsin2x1+x2=-π.

證明 當(dāng)x=1時(shí)，等式顯然成立.

當(dāng)x<-1時(shí)，對(duì)等式左邊求導(dǎo)數(shù)，得到

21+x2+11-2x1+x22#8226;2(1+x2)-4x2(1+x2)2=0.

∴2arctanx+arcsin2x1+x2=常數(shù).

當(dāng)x=-3時(shí)，2arctan(-3)+arcsin-231+3=-π.

故2arctanx+arcsin2x1+x2=-π，x≤-1.

2.求函數(shù)的極值、切線與單調(diào)區(qū)間問題

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以很容易地求得曲線的切線，也可以很方便地求出單調(diào)區(qū)間和極值.這類問題也是近年來高考考查的重點(diǎn).

例3 已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值.

（1）討論f(1)和f(-1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；

（2）過點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f(x)的切線，求此切線的方程.

解 （1）f′(x)=3ax2+2bx-3，依題意，f′(1)=f′(-1)=0，

即3a+2b-3=0，且3a-2b-3=0，解得a=1，b=0.

∴f(x)=x3-3x，f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).

令f′(x)=0，得x=-1，x=1.

若x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，則f′(x)>0，故f(x)在(-∞，1)上是增函數(shù)，f(x)在(1，+∞)上是增函數(shù).

若x∈(-1，1)，則f′(x)<0，故f(x)在（-1，1）上是減函數(shù).

∴f(-1)=2是極大值，f(1)=-2是極小值.

（2）曲線方程為f(x)=x3-3x.點(diǎn)A（0，16）不在曲線上.

設(shè)切點(diǎn)為M（x0，y0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y0=x30-3x0.

由于f′(x0)=3(x20-1)，

故切線的方程為y-y0=3(x20-1)(0-x0).

注意到點(diǎn)A（0，16）在切線上，

有16-(x30-3x0)=3(x20-1)(0-x0)，

化簡(jiǎn)，得x30=8，解得x0=2.

因此，切點(diǎn)為M（-2，-2），切線方程為9x-y+16=0.

例4 已知函數(shù)f(x)=x2eax，其中a≤0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，1］上的最大值.

解 （1）f′(x)=x(ax+2)eax.

①a=0時(shí)，令f′(x)=0，得x=0.

若x>0，則f′(x)>0，從而f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增；

若x<0，則f′(x)<0，從而f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減.

②當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)=0，得x(ax+2)=0，故x=0或x=-2a.

若x<0，則f′(x)<0，從而f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減；

若00，從而f(x)在0，-2a上單調(diào)遞增；

若x>-2a，則f′(x)<0，從而f(x)在-2a，+∞上單調(diào)遞減.

（2）①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在區(qū)間［0，1］上的最大值f(1)=1.

②當(dāng)-2

③當(dāng)a≤-2時(shí)，f(x)在區(qū)間［0，1］上的最大值f-2a=4a2e2.

3.方程根的討論

用初等數(shù)學(xué)的方法討論方程x3+px+q=0的根的存在性涉及許多等式變形，相當(dāng)麻煩.如用求導(dǎo)數(shù)的方法討論方程x3+px+q=0根的存在性將會(huì)比較簡(jiǎn)單.

例5 設(shè)方程x3+px+q=0（p，q為實(shí)數(shù)）.

證明：（1）當(dāng)q24+p327>0時(shí)，它有一實(shí)根及二共軛虛根；

（2）當(dāng)q24+p327<0時(shí)，它有相異三實(shí)根；

（3）當(dāng)q24+p327=0時(shí)，它有三實(shí)根，其中至少有兩根相等.

證明 定義f(x)=x3+px+q，則f′(x)=3x2+p，所以f(x)是一條連續(xù)曲線.

（1）若p>0，令f′(x)=0，得x1，2=±-p3.

由極值判別法可知：f(x)在x1=--p3取極大值，f極大=q-23p-p3；f(x)在x2=-p3取極小值，f極小=q+23p-p3.

①若f極大#8226;f極小<0，即q24+p327>0時(shí)，f極大與f極小分別位于x軸上方和下方，所以曲線與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程x3+px+q=0有三個(gè)相異的實(shí)根.

②若f極大#8226;f極小>0，即q24+p327<0時(shí)，f極大與f極小同時(shí)位于x軸上方和下方，所以曲線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程x3+px+q=0有一個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛虛根.

③若f極大#8226;f極小=0，即q24+p327=0時(shí)，則f極大與f極小中一個(gè)為0，這時(shí)，曲線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程x3+px+q=0有三個(gè)實(shí)根，且有兩根相等.

(2)若p>0，則q24+p327>0，且f′(x)=3x2+p>0，所以f(x)嚴(yán)格單調(diào)增加，這時(shí)曲線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程x3+px+q=0有一個(gè)實(shí)根及一對(duì)共軛虛根.

(3)若p=0，則f(x)=x3+q.

①若q=0，q24+p327=0，這時(shí)方程變成x3=0，即方程x3+px+q=0有三個(gè)等根.

②若q≠0，則q24+p327>0，則f′(x)=3x2≥0，所以f(x)單調(diào)增加，這時(shí)曲線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程x3+px+q=0有一個(gè)實(shí)根及一對(duì)共軛虛根.

由（1），（2），（3）知結(jié)論成立.

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