常微分方程的上下解方法及其應(yīng)用

【摘要】該文首先介紹了所討論問題的背景以及一般的研究方法，給出了一些重要的概念和定理.之后介紹了一階常微分方程初值問題的上下解方法，用上下解方法討論了一階常微分方程解的存在性和唯一性.

【關(guān)鍵詞】常微分方程；初值問題；上下解方法

非線性泛函分析是現(xiàn)代分析的一個主要分支，已成為現(xiàn)代數(shù)學中重要的研究方向之一，它是處理許多非線性問題的重要和有力工具，其主要研究方法有：上下解方法、迭合度理論、不動點理論、變分法等，它們可以對非線性問題給出合理而精確的解釋，特別在解決微分方程問題中更是有其重大意義.在微分方程研究中，上下解方法是一種很常用的方法，該文討論了一階常微分方程初值問題：u′=f(t，u)，u(0)=x0，得到解的迭代原理以及解的存在性和唯一性.

1.上下解的概念

該文給出一階常微分方程初值問題上下解的概念，主要討論初值問題.

u′=f(t，u)，u(0)=x0.(1.1)

其中f(t，x)：J×R1→R1連續(xù).

設(shè)T>0為常數(shù)，J=［0，T］，C(J，R1)={u(t)|u(t):J→R1連續(xù)}，且C(J，R1)中的半序由錐P={u∈C(J，R1)|u(t)≥0，vt∈J}導出，C1(J，R1)={u(t)|u(t):J→R1連續(xù)可微}.

定義1 若v′(t)∈C1(J，R1)滿足

v′(t)≤f(t，v(t))，vt∈J，v(0)≤x0.(1.2)

則稱v(t)是初值問題(1.1)的一個下解;

若w′(t)≥C1(J，R1)滿足

w′(t)≥f(t，w(t))，vt∈J，w(0)≥x0.(1.3)

則稱w(t)是初值問題(1.1)的一個上解.

2.上下解方法的應(yīng)用

主要給出利用上下解方法所得到的一階常微分方程初值問題(1.1)解的存在性和唯一性.

定理1 設(shè)v(t)，w(t)∈C1(J，R1)分別是初值問題(1.1)的下解和上解.若存在常數(shù)L>0，使得f(t，x)-f(t，y)≤L(x-y)，對vt∈J，x≥y，則v(t)≤w(t)，vt∈J.

定理2 設(shè)存在常數(shù)L>0，使得f(t，x)-f(t，y)≤L(x-y)，對vt∈J，x≥y，則初值問題(1.1)至多有一個定義在J上的解.

定理3 設(shè)f(t，x):J×R1→R1連續(xù)，v0(t)，w0(t)∈C1(J，R1)分別是初值問題(1.1)的下解和上解，v0(t)≤w0(t)，vt∈J.又設(shè)存在常數(shù)M≥0，使得f(t，x)-f(t，y)≥-M(x-y)，v(t，x)∈D1，y≤x，其中D1={(t，x)∈J×R1|v0(t)≤x≤w0(t)}，則初值問題(1.1)在D={u∈C(J，R1)|v0(t)≤u≤w0(t)}中必有最小解v*(t)和最大解w*(t)，并且分別以v0(t)，w0(t)為初始元，作迭代序列：

vn(t)=e-Mt{x0+∫t0eMs［f(s，vn-1(s))+Mvn-1(s)］ds}，n=1，2，3，….

wn(t)=e-Mt{x0+∫t0eMs［f(s，wn-1(s))+Mwn-1(s)］ds}，n=1，2，3，….

則{vn(t)}，{wn(t)}分別在J上單調(diào)一致收斂于v*(t)，w*(t).

定理4 設(shè)f(t，x):J×R1連續(xù)，v0(t)，w0(t)∈C1(J，R1)分別是初值問題(1.1)的下解和上解，v0(t)≤w0(t)，vt∈J，則初值問題(1.1)在D={u∈C(J，R1)|v0(t)≤u≤w0(t)}中至少有一個解.

定理5 設(shè)f(t，x):J×R1→R1連續(xù)，v0(t)，w0(t)∈C1(J，R1)分別是初值問題(1.1)的下解和上解.若存在常數(shù)L>0，使得f(t，x)-f(t，y)≤L(x-y)，對vt∈J，x≥y，則初值問題(1.1)有唯一解且在D={u∈C(J，R1)|v0(t)≤u≤w0(t)}中.

證明 由于v0(t)，w0(t)∈C1(J，R1)分別是初值問題(1.1)的下解和上解，且存在常數(shù)L>0，使得f(t，x)-f(t，y)≤L(x-y)，對vt∈J，x≥y，則由定理1知，v0(t)≤w0(t)，vt∈J，由定理2，定理4，則初值問題(1.1)有唯一解且在D={u∈C(J，R1)|v0(t)≤u≤w0(t)}中.

定理6 設(shè)f(t，x):J×R1→R1連續(xù)，f(t，x)≤f(t，y)，對vt∈J，x≥y，則初值問題(1.1)在J上有唯一解.

證明 由于f(t，x):J×R1→R1連續(xù)，f(t，x)≤f(t，y)，對vt∈J，x≥y，則顯然必存在常數(shù)L>0，使得f(t，x)-f(t，y)≤L(x-y)，對vt∈J，x≥y.又由上下解存在定理知，存在上下解，則由定理5知初值問題(1.1)在J上有唯一解.

3.結(jié)束語

該文對于一階常微分方程初值問題，得到該方程的上下解存在定理，運用上下解方法得到最大最小擬解的存在性和單調(diào)迭代原理，同時得到初值問題上下解的大小關(guān)系、解的存在性定理和在有解的情況下解的估計.文章中運用上下解方法得到了證明了一些定理，充分說明了一階常微分方程解的存在性和唯一性.

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