冪指函數的等價表示式在三本高等數學教學中的應用

【摘要】闡述了冪指函數的等價表示式，以及在求函數極限、一元函數求導、多元函數求偏導數和反常積分中的應用.給出的例子充分說明了:在三本高等數學的教學中，利用冪指函數的等價變形去解決問題能起到事半功倍的作用.

【關鍵詞】冪指函數；函數極限；一元函數求導數；多元函數求偏導數；反常積分

在求解函數極限、對一元函數求導、對多元函數求偏導數，以及判斷反常積分的收斂性中往往會碰到冪指函數.這時如果能想到冪指函數的等價表示式，在三本高等數學的教學中，學生很容易就理解了問題的緣由，老師也往往獲得了好的課堂教學效果.

定義 設f(x)，g(x)兩個函數，其中f(x)>0，定義域為D，形如f(x)g(x)的函數，我們稱為定義在D上的冪指函數.下面推導冪指函數的等價表示式:

設y=f(x)g(x)，因為f(x)>0，所以y=f(x)g(x)>0.在方程的兩邊取自然對數，得lny=lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x)，即得到冪指函數的等價表示式y(tǒng)=eg(x)lnf(x).

1.函數求極限

定理 冪指函數極限limf(x)g(x)存在的充分必要條件是limg(x)lnf(x)存在，且當limg(x)lnf(x)存在時有limf(x)g(x)=elimg(x)lnf(x)成立.

例1 求limx→0(1+x)2sinx.

解 limx→0(1+x)2sinx=elimx→02sinxln(1+x)=e2.

例2 求limx→0(cosx)4x2.

解 limx→0(cosx)4x2=elimx→04x2ln cosx=elimx→04ln(cosx-1+1)x2=e-2.

這種求導方法在文［3］中得到了肯定，并且就冪指函數的極限問題給出了一些定理.

2.冪指函數求導

例3 y=xsinx.

解 y=esinxlnx，

y′=(esinxlnx)′=esinxlnx(sinxlnx)′

=xsinxsinxx+cosxlnx.

例4 y=xxx.

解 y=exxlnx，

y′=(exxlnx)′=exxlnx(xxlnx)′=xxx(exlnxlnx)′

=xxxxxx+xxlnx(1+lnx)

=xxx［xx-1+xxlnx(1+lnx)］.

對下面的形式的復合函數求導也是適用的.

例5 y=10sin(2x)+sin10(2x).

解 y=esin(2x)ln10+e10ln sin(2x)，

y′=esin(2x)ln10［sin(2x)ln10］′+e10ln sin(2x)［10ln sin(2x)］′#8226;10sin（2x）2cos(2x)ln10+sin10(2x)10sin2x2cos(2x)，

所以，y′=2ln10cos(2x)10sin(2x)+20cos(2x)sin9(2x).

3.多元函數求偏導

在多元函數求偏導時，也是可用的.

例6 設z=(1+xy)y，求zx，zy.

解 z=(1+xy)y=eyln(1+xy)，

zx=eyln(1+xy)［yln(1+xy)］′

=(1+xy)yy21+xy=y2(1+xy)y-1，

zy=(1+xy)yln(1+xy)+xy1+xy.

例7 u=xyz.

解 u=xyz=eyzlnx，

ux=eyzlnxyzlnx′=xyzyzx=yzxyz-1，

uy=xyzlnxz，

uz=xyz-ylnxz2=-yz2xyzlnx.

4.判斷反常積分的收斂性

例8 證明：反常積分∫+∞11xpdx，當p>1時，收斂;當p≤1時，發(fā)散.

證明 當p=1時，∫+∞11xpdx=∫+∞11xdx=［lnx］+∞1=+∞；

當p≠1時，∫+∞11xpdx=x1-p1-p+∞1=e(1-p)lnx1-p+∞1；

當x→+∞時，顯然，lnx→+∞.

如果1-p<0，則(1-p)lnx→-∞，所以e(1-p)lnx→0；

如果1-p>0，則(1-p)lnx→+∞，所以e(1-p)lnx→+∞.

所以反常積分∫+∞11xpdx，當p>1時，收斂;當p≤1時，發(fā)散.

例9 證明:反常積分∫ba1(x-a)qdx(b>a)，當0

證明 證明過程可以類似例8寫出，此處從略.

【參考文獻】

［1］同濟大學應用數學系編.高等數學（本科少學時類型）（第三版）上冊［M］.2006.

［2］馮加才.冪指函數的極限問題［J］.焦作工學院學報，1999：393-394.

［3］劉小華.關于冪指函數求極限的問題［J］.高等數學研究，2008：5-6.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文