解析分段函數(shù)的幾個問題

函數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，有著獨特性質(zhì)和特殊作用的分段函數(shù)往往難以被初學(xué)者理解和掌握，始終是函數(shù)教學(xué)的難點.普通數(shù)學(xué)教科書將分段函數(shù)定義為“在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同式子表示的函數(shù)”.這種定義方式，尤其是什么是“式子”，讓初次接觸分段函數(shù)的學(xué)生覺得既抽象又無法理解，難以有一個定量的認識.此外，定義對分段函數(shù)的特征、性質(zhì)等也沒有做出任何解釋.本人在教學(xué)實踐中體會到，講述分段函數(shù)并非只是強調(diào)它是由兩個或者兩個以上的函數(shù)組成，尤其要關(guān)注其在分段點處的解析性態(tài)，因為分段函數(shù)相比較于非分段函數(shù)的特殊性正是由于它在分段點處的變化特性所導(dǎo)致的，當(dāng)分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則均為初等函數(shù)時其間斷點往往在分界點出現(xiàn).

分段函數(shù)在教材中是以例題的形式出現(xiàn)的，并未作深入說明.學(xué)生對此認識比較膚淺，本文就分段函數(shù)的有關(guān)問題整理、歸納如下：

1.分段函數(shù)的含義

所謂“分段函數(shù)”，習(xí)慣上指在定義域的不同部分，有不同的對應(yīng)法則的函數(shù).對它應(yīng)有以下兩點基本認識：

（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；

（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

2.求分段函數(shù)的函數(shù)值

例1 已知函數(shù)f(x)=2x(x<0)，3(0≤x≤1)，log13x(x>1)，求f{f［f(a)］}(a<0)的值.

分析 求分段函數(shù)的函數(shù)值時，首先應(yīng)確定自變量在定義域中所在的范圍，然后按相應(yīng)的對應(yīng)法則求值.f(x)是分段函數(shù)，要求f{f［f(a)］}，需要確定f［f(a)］的取值范圍，為此又需確定f(a)的取值范圍，然后根據(jù)所在定義域代入相應(yīng)的解析式，逐步求解.

解 ∵a<0，∴f(a)=2a.

∵0<2a<1，∴f［f(a)］=f(2a)=3.

∵3>1，∴f{f［f(a)］}=f(3)=log133=-12.

3.求分段函數(shù)的解析式

例2 已知奇函數(shù)f(x)(x∈R)，當(dāng)x>0時，f(x)=x(5-x)+1.求f(x)在R上的表達式.

解 ∵f(x)是定義域在R上的奇函數(shù)，∴f(0)=0.

又 當(dāng)x<0時，-x>0，

故有f(-x)=-x［5-(-x)］+1=-x(5+x)+1.

再由f(x)是奇函數(shù)，f(x)=-f(x)=x(5+x)-1.

∴f(x)=x(5-x)+1(x>0)，0(x=0)，x(5+x)-1(x<0).

4.求分段函數(shù)的最值

例3 求函數(shù)y=2x+3(x≤0)，x+3(01)的最小值.

方法1 先求每個分段區(qū)間上的最值，后比較求值.

當(dāng)x≤0時，y=f(x)=2x+3，此時顯然有ymax=f(0)=3;

當(dāng)0

當(dāng)x>1時，y=f(x)=-x+5，此時y無最大值.

比較可得當(dāng)x=1時，ymax=4.

方法2 利用函數(shù)的單調(diào)性.

由函數(shù)解析式可知，f(x)在x∈(-∞，0)上是單調(diào)遞增的，在x∈(0，1)上也是遞增的，而在x∈(1，+∞)上是遞減的，由f(x)的連續(xù)性可知f(x)當(dāng)x=1時，有最大值4.

方法3 利用圖像，數(shù)形結(jié)合求得.作函數(shù)y=f(x)的圖像，顯然當(dāng)x=1時，ymax=4.

說明 分段函數(shù)的最值常用以上三種方法求得.

5.分段函數(shù)的奇偶性

例4 已知g(x)=x+2，x<-1，0，|x|≤1，-x+2，x>1，試判斷函數(shù)g(x)的奇偶性.

解 數(shù)形結(jié)合法.作出g(x)的圖像，知關(guān)于y軸對稱，故為偶函數(shù).

6.分段函數(shù)的極限和連續(xù)性

例5 設(shè)f(x)=x(0

（1）求f(x)在點x=1處的左、右極限.函數(shù)f(x)在點x=1處是否有極限？

（2）函數(shù)f(x)在點x=1處是否連續(xù)？

（3）確定函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間.

分析 對于函數(shù)f(x)在給定點x0處的連續(xù)性，關(guān)鍵是判斷函數(shù)當(dāng)x→x0時的極限是否等于f(x0)；函數(shù)在某一區(qū)間上任一點處都連續(xù)，則在該區(qū)間上連續(xù).

解 （1）limx→1-f(x)=limx→1-x=1，

limx→1+f(x)=limx→1+1=1，

∴limx→1f(x)=1.

函數(shù)f(x)在點x=1處有極限.

（2）∵f(1)=12≠limx→1f(x)，函數(shù)f(x)在點x=1處不連續(xù).

（3）函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間是（0，1），（1，2）.

說明 不能錯誤地認為f(1)存在，則f(x)在x=1處就連續(xù).求分段函數(shù)在分界點x0的左、右極限，一定要注意在分界點左、右的解析式的不同.只有limx→x-0f(x)=limx→x+0f(x)，limx→x0f(x)才存在.

考查分段函數(shù)的極限和連續(xù)性，訓(xùn)練函數(shù)連續(xù)區(qū)間的求法.

7.根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性確定參數(shù)的值

例6 若函數(shù)f(x)=(1+x)3x，x≠0，a，x=0在x=0處連續(xù)，試確定a的值.

解 limx→0f(x)=limx→0(1+x)3x=limx→0(1+x)1x3=e3，

f(0)=a.

欲f(x)在x=0處連續(xù)，必須使limx→0f(x)=f(0)，故a=e3.

說明 利用連續(xù)函數(shù)的定義，可把極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)值求解.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文