高等數學中的發散性思維例證

【摘要】以常見問題的求解與思考為例，通過一題多解、一題多變的形式，引導學生在高等數學的學習過程中加深對發散性思維能力的訓練與培養.

【關鍵詞】一題多解；一題多變；發散性思維

眾所周知，數學一向被稱為探索和發明的樂土，是一種理性的思維.對數學理性思維的訓練，其作用是其他學科難以替代的，而這種理性思維的培養對大學生全面素質的提高、分析問題能力的加強、創新意識的啟迪都是至關重要的.

數學理性思維包括多種形式，其中之一就是發散性思維.在高等數學中“一題多解”和“一題多變”就是典型的發散性思維.

一、一題多解

例1 求∫dxx21+x2(x>0).

解法一 用湊微分法

∫dxx21+x2=∫dxx31x2+1=-12∫d1x2+11x2+1

=-1x2+1+C=-1+x2x+C.

解法二 用雙曲函數代換，設x=sht，則dx=chtdt，于是

∫dxx21+x2=∫chtdtsh2tch2t=∫1sh2tdt

=-chtsht+C=-1+x2x+C.

解法三 用倒代換，令x=1u，則dx=-1u2du，于是

∫dxx21+x2=-∫uduu2+1=-u2+1+C

=-1+x2x+C.

解法四 用三角函數代換，設x=tant，則dx=sec2tdt，于是

∫dxx21+x2=∫sec2tdttan2t#8226;sect=∫costsin2tdt

=∫d(sinx)sin2x=-1sinx+C

=-1+x2x+C.

從上例我們可以看到積分方法靈活多樣，通過計算這樣一個題目，不但使讀者運用了多種計算不定積分的方法，更重要的是培養了讀者發散式思考問題的思維方法.

二、一題多變

例2 試求微分方程xy″-y′=x2的通解.

解法一（降階法） 令y′=p，y″=p′，則原方程變為

xp′-p=x2p′-1xp=x.

它是關于p的一階線性微分方程，

解得p=e∫1xdxxe∫-xdx+C+C1=x(x+C1).

即y′=x2+xC1，dy=(x2+xC1)dx，

兩邊積分，得原方程的通解y=x33+C1x2+C2.

解法二 將方程兩邊同時乘以x，則原方程可變為歐拉方程x2y″-xy′=x3，從而用歐拉方程的解法求出通解.

即令x=et，則可化成常系數線性方程d2ydt2-2dydt=e3t，

解得y=C1+C2e2t+13e3t，

代回原變量，得原方程通解y=x33+C1x2+C2.

解法三 將原方程改寫成(xy′-2y′)′=x2，兩邊積分，

得xy′-2y′=13x3+C.

此方程是關于y的一階線性微分方程，

解得通解y=x33+C1x2+C2.

解法四 若將原方程改寫為xy″-y′x2=1，

即y′x′=1，兩邊積分，得y′x=x+C.

分離變量再積分，則原方程的通解為

y=x33+C1x2+C2.

此題的演算主要應用了：降階法、歐拉方程的解法、線性微分方程的解法等等，通過一題多變的解法培養了學生在高等數學學習過程中的發散思維.

【參考文獻】

［1］徐文雄.高等數學（上冊）.北京：高等教育出版社，2004.

［2］李心燦.高等數學專題十二講.北京：化學工業出版社，2001.

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