一道高考試題的解法探究

2010年安徽高考數學（文）第17題：橢圓E經過點A（2，3），對稱軸為坐標軸，焦點F1，F2在x軸上，離心率為12.

（1）求橢圓E的方程；（2）求∠F1AF2的平分線所在的直線l的方程.

本題作為文科的第17題和理科第19題的前兩問，考查橢圓的定義、標準方程及簡單的幾何性質、直線方程和點到直線的距離公式等基礎知識.雖難度系數不大卻蘊含豐富的數學思想，可以用多種方法求解.

解 （1）由題意，可直接求出橢圓的方程x216+y212=1.

（2）解法探究.

解法一 （利用點到直線的距離公式求解）

由（1）知，F1(-2，0)，F2(2，0)，直線AF1的方程為

y=34(x-2)，即3x-4y+6=0.

直線AF2的方程x=2，由點A在橢圓E上的位置可知直線l的斜率為正數，設P(x，y)為l上任一點，則

|3x-4y+6|5=|x-2|.

若3x-4y+6=5x-10，

即x+2y-8=0（因斜率為正，舍去）.

于是由3x-4y+6=-5x+10，得2x-y-1=0.

所求直線的方程為2x-y-1=0.

解法二 （利用向量加法的幾何意義求解）

由A(2，3)，F1(-2，0)，F2(2，0)，

∴AF1=(-4，-3)，AF2=(0，-3).

則AF1|AF1|+AF2|AF2|=15(-4，-3)+13(0，-3)

=-45(1，2)，

kl=2，所求直線的方程為y-3=2(x-2)，

即2x-y-1=0.

解法三 （利用三角形內角平分線定理求解）

如圖，設直線l交x軸于點Ｐ，在△F1AF2中，

|AF1|=5，|AF2|=3，

∵直線l平分∠F1AF2，

∴|AF1||AF2|=|F1P||PF2|=53.

∵F1(-2，0)，F2(2，0)，|F1F2|=4，

∴P12，0，kl=kAP=3-02-12=2.

所求方程為y-3=2(x-2)，

即2x-y-1=0.

解法四 （利用三角函數求解）

如上圖，設∠F1AF2=2α，在Rt△F1AF2中，

∠AF2F1=π2，|F1F2|=4，|AF2|=3，

∴tan2α=|F1F2||AF2|=43.

∵tan2α=2tanα1-tan2α=43，

∴tanα=12或tanα=-2（負的不合題意舍）.

∴kl=tan∠APF2=1tanα=2.

所求直線方程為y-3=2(x-2)，

即2x-y-1=0.

解法五 （利用內切圓性質求解）

如上圖，設△F1AF2的內切圓半徑為r，圓心Ｃ(m，n)，則點Ｃ在直線l上.

∵S△F1AF2=12|AF2||F1F2|

=12r(|AF1|+|AF2|+|F1F2|)，

∴12r(5+3+4)=6，即r=1.

∴點Ｃ（1，1），則斜率kAC=3-22-1=2.

所求直線方程為y-3=2(x-2)，

即2x-y-1=0.

解法六 （構造等腰三角形求解）

如圖，延長AF2到Ｄ使AD=AF1，則D(2，-2)，連接F1D交直線l于點Ｍ.

∵直線l為∠F1AF2的平分線，則點Ｍ為F1D的中點，

∴Ｍ(0，-1)，由斜率公式，可得kAM=2.

所求直線方程為2x-y-1=0.

解法七 （利用鏡面反射求解）

根據橢圓鏡面的反射原理：過一個焦點的入射光線經過橢圓鏡面反射后，反射光線經過另一個焦點.

設F2A和AF1所在的射線分別為入射光線和反射光線，則∠F1AF2的平分線l所在直線即為法線，因此只要求出橢圓在點Ａ處切線的斜率即可.可以利用導數求解：

設f(x)=12-34x2，則

f′(x)=-32x212-34x2，

∴f′(2)=-12，

∴kl=2，所求直線方程為2x-y-1=0.

拓展

1.在本題中若點A(x0，y0)為橢圓Ｅ上的任一點，仍然可以利用上述方法求解.

根據鏡面反射原理.

2.若點A(x0，y0)為雙曲線x2a2-y2b2=1上任一點，F1，F2為雙曲線的兩個焦點，∠F1AF2的平分線即為以點Ａ為切點的雙曲線的切線.

3.拋物線y2=2px(p>0)焦點為F，A(x0，y0)為拋物線上任一點，直線l為其準線，AM垂直l，垂足為M，則∠FAM的平分線即為拋物線在點A處的切線.

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