如何提高高三學生的數學學習能力

【摘要】新課程人教A版對有關立體幾何的教學設置了以下內容：在《必修２》中設置了第一章《空間幾何體》、第二章《點、線、平面之間的位置關系》，理科還在《選修２-１》設置了第三章《空間向量與立體幾何》，充分體現了“螺旋上升”的新課程理念，同時也“螺旋上升”了立體幾何中的重要概念、定理及思想方法.這是一種相當不錯的上升手段，不僅能使學生很好地利用推理論證的方法解決立幾問題，也體現了向量這一工具的有效性，開闊了學生的思路，提高了學生的認識.

【關鍵詞】數學教學；學習能力；提高能力；解答數學題

到了高三的復習階段，提高立幾題的得分率成為了一項必須完成的重要任務，個人認為可以從以下幾方面入手復習，或許會起到較為明顯的效果.

一、注重推理環節，重視論證嚴密性

鏈接高考 （2009年高考浙江文科試卷4）設α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是（）.

A.若l⊥α，α⊥β，則lβ

B.若l∥α，α∥β，則lβ

C.若l⊥α，α∥β，則l⊥β

D.若l∥α，α⊥β，則l⊥β

解題探究 此題主要考查立體幾何的線面、面面的位置關系，通過對平行和垂直的考查，充分調動了立體幾何中的基本元素關系.答案：C.

實戰訓練 設m，n是平面α內兩條不同的直線，l1，l2是平面β內的兩條相交直線，則α∥β的一個充分而不必要條件是().

A.m∥β且l1∥α

B.m∥l1且n∥l2

C.m∥β且n∥β

D.m∥β且n∥l2

數學是一門嚴謹的學科，講究嚴密的邏輯性，立體幾何更是如此，諸如證明線面垂直，除了必須有兩條直線與之垂直外，必須加上這兩條直線是相交直線，不可或缺；如線面平行，除直線與平面內一條直線平行外，還必須加上此直線不包含于此平面中.這是立幾中應用定理證明中必須具備的條件，缺失不得.數學無閑語，題干中的每個詞每個條件都是環環相扣，緊密相連的，缺一不可.曲解其中的任何一句或一字都可能導致解題過程不嚴密，結論不正確，與原始題意的出發點大相徑庭，背道而馳，全盤皆輸.細節決定成敗，因此在平時的教學中，特別是在后期的復習中，重視對每個定理所必需的條件理解清楚，在進行立幾證明書寫過程中，應不厭其煩地書寫每個條件，關注推理的每個環節，注重論證嚴密性訓練，使學生腦海中留下嚴密的邏輯記憶，不僅是證明的書寫嚴密，也是對一些立幾判斷題的解答起到較好的效果.

二、注重平幾聯系，重視圖形可逆性

注重與平幾的聯系與區別，特別重視平幾中成立而立幾中不成立的幾個判定及性質.立體幾何與平面幾何有著密切的聯系，從平面拓展到空間、從二維拓展到三維，不論是概念還是圖形的拓展變化，都是難點.立體幾何中的許多定理、公式和法則都是類比平面幾何中的一些定理、公式、法則在空間中的推廣，處理問題的思想方法有許多相似之處，但理解時不能照搬照抄，必須注意這兩者之間又有著明顯的區別.有時平面幾何的局限性會對立體幾何的學習產生一些干擾和阻礙作用，如果僅憑平面幾何的經驗，用平面幾何的結論套用到空間中的幾何體，有時會產生錯誤.例如，平面幾何中命題1“若a⊥b，b⊥c，則b∥c”，命題2“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”都為真命題，但在立體幾何中不是真命題.又如，平幾中兩線位置關系只有平行與相交，而立幾中還有異面；平幾中的相交兩線有夾角，立幾中異面直線也有夾角，但立幾中有夾角的兩線卻不一定相交；平面中的兩線垂直是相交的特殊情況，而立幾中垂直的兩線卻不一定相交；等等.正因為平幾對于學生來講比較容易理解，而且經過初中時的學習，一些定理和性質根深蒂固，不時會遷移到立幾學習中來，所以更應該對這些平幾與立幾中的區別之處一一列舉出來，便于學生的分析、理解與應用.

三、注重模型應用，重視圖形關聯性

鏈接高考 如圖，在四面體ABCD中，3組對棱棱長分別相等且依次為34，41，5，則此四面體外接球半徑R為（）.

A.52

B.5

C.522

D.4

解題探究 此題如用常規做法很難完成，如能巧妙地構造數學模型，把此四面體的四個頂點放入長方體中，棱長作為長方體的面對角線，則此四面體的外接球成了一個長方體的外接球，從而簡化了解題方法及過程，更重要的是提高了答案的準確率.答案是C.通過此題的訓練，能讓學生熟悉抓住問題的本質，運用構造法實現輕松高效解題的方法，并且更有利于空間想象力的培養.長方體是“新課程標準”確定的立體幾何的一個重要載體之一.此類問題可促使學生重視將一般常見幾何體向長方體轉化，也能較好地培養學生的圖形構造能力.

實戰訓練 已知三棱錐S-ABC的三側棱兩兩垂直，且SA=2，SB=SC=4.若點P到點A，B，C，S四點的距離相等且為同一個值d，則d=.

長方體和正方體是立體幾何中的兩個重要的模型和載體.所學的幾個常見的幾何體，如三棱錐、四面體、四棱錐等，往往可以放入此兩幾何體中作為其中的一部分，補成長方體或正方體，利用這兩幾何體的性質解題，簡化解題過程，更有效地提高了答案的準確率，達到事半功倍的效果.

四、注重直觀圖、三視圖，重視圖形空間性

由于三視圖比直觀圖更抽象，距離實際幾何體要更遠些，而且一個三視圖可能實際幾何體不止一個，因此，學生碰到有關習題時，都會發生一些想象上的錯誤.因此，在平時的學習中應加強對這三者之間相互轉換的訓練，通過給出簡單幾何體，繪制直觀圖與三視圖、由直觀圖繪制三視圖，更應由三視圖轉化直觀圖，想象實際幾何體.要求學生對圖形既需要直觀地感覺，也需要辨析論證.通過教學使得學生能通過“實物模型——三視圖——直觀圖”這樣一個相互轉化的過程認識空間幾何體.這些數學活動是培養學生空間想象能力的有效途徑.

五、注重空間坐標，重視計算正確性

實戰訓練 在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，點E是PC的中點.

（1）求PB與面PAD所成的角的大小；

（2）求證：AE⊥面PCD；

（3）求二面角A-PD-C的大小.

新課標引入了空間向量解決幾何問題后，極大部分的立體幾何題都可建立空間直角坐標系，把幾何問題的計算和證明轉化為代數式的計算.建立空間直角坐標系對于極大部分的立幾題而言不是一件難事.難點往往在于對坐標系中的各點的坐標的求解.有許多同學總是由于誤解點面、點軸的位置關系而錯設點的坐標，從而導致整個立幾題得分所剩無幾.

縱觀2009年各地高考試卷，立體幾何部分占總分的15%左右.特別是新增內容如三視圖有文理各六省市的高考試卷中出現了這類問題，故在此次高三立幾復習中我們要加強對這方面問題的有效講評與練習，成為高考得分的必勝點.新課程中向量的引入，增加了解決立體幾何問題的方法，把幾何中的推理論證轉化為代數中的計算，有效提高了學生在立體幾何上的得分率.作為一名高中學生，應該有信心把立幾題作為一道高得分題，作為一名數學教師更有責任把立幾知識講深講透，提高學生的空間想象能力和邏輯思維能力.只有不斷總結，及時了解學生知識掌握上的漏洞與不足，才能高效地提高知識掌握程度，使學生學得輕松而成功.

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