例談高中數學選擇題的解題方法與技巧

【摘要】選擇題是高考命題的一種題型，除了考查學生的基礎知識、基本技能外，還肩負著“速度測試”的功能.這就要求在平時的教學中，教師要幫助學生掌握一定的解題方法與技巧.

【關鍵詞】數學選擇題；解題方法；解題技巧

在近幾年的高三數學教學中，我發現許多學生在解數學選擇題時，存在“小題大做，準確率低”的通病.高考是一種選拔性考試，在大題量、限時的形勢下，不但要求準確，對解題過程的簡明、快捷也有很高的要求.因此，在平時的教學中，教師要幫助學生掌握一定的解題方法與技巧，能正確、快捷地解好數學選擇題.現在我介紹幾種行之有效的方法.

一、概念辨析法

每份高考命題試卷都有一定比例的基礎題，但基礎不等于簡單和容易.這基礎題是強化通性通法的考查，這就要求學生要在理解的基礎上，熟記教材中的定義、公式、性質、公理和定理.

有一類題目被稱為“一步題”，在解題時，直接用這些知識解決問題.如：

例1 若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，則集合A∪B等于().

A.{0，1，2，3，4}

B.{1，2，3，4}

C.{1，2}

D.{0}

分析 由并集的概念可知，答案為A.

例2 函數f(x)=lg(x-1)的定義域是().

A.(2，+∞)

B.(1，+∞)

C.［1，+∞)

D.［2，+∞)

分析 由對數函數的性質（真數大于0），可得x-1>0，從而答案為B.

同時，高考命題不會停留在對定義、公式、定理的表面理解上，一般在基礎題里會設置一些小障礙和小陷阱.如：

例3 若函數f(x)=3x+3-x與g(x)=3x-3-x的定義域均為R，則().

A.f(x)與g(x)均為偶函數

B.f(x)為奇函數，g(x)為偶函數

C.f(x)與g(x)均為奇函數

D.f(x)為偶函數，g(x)為奇函數

分析 f(x)與g(x)的解析式都相對復雜，但這題是考查函數奇偶性的定義的，只要理解奇偶函數的定義就能推知答案.由f(-x)=3-x+3x，從而有f(-x)=f(x)，故f(x)為偶函數；由g(-x)=3-x-3x，從而有g(-x)=-g(x)，故g(x)為奇函數.答案為D.

二、以形助數法

“以形助數”是數形結合的一種數學思想方法，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化.“以形助數”能使我們更好理解題意，盡可能地減少計算量，主要體現在解析幾何的習題里.如：

例4 設x，y滿足2x+y≥4，x-y≥-1，x-2y≤2，則z=x+y().

A.有最小值2，最大值3

B.有最小值2，無最大值

C.有最大值3，無最小值

D.無最小值，無最大值

分析 將z=x+y化為y=-x+z，z的幾何意義是經過點（x，y），斜率為-1的直線L:y=-x+z的縱截距；而點（x，y）要滿足不等式組2x+y≥4，x-y≥-1，x-2y≤2，即點（x，y）要在由直線2x+y=4，直線x-y=-1，直線x-2y=2圍成的可行區域內（如圖陰影部分，包括邊界）.

易知，當直線L過C（2，0）時，L:y=-x+z的縱截距z最小.把x+2，y=0代入z=x+y，從而求得z的最小值2，但z無最大值.故選B.

例5 如果實數x，y滿足(x-2)2+y2=3，那么yx的最大值是().

A.12

B.33

C.32

D.3

分析 yx=y-0x-0，其幾何意義是過點（x，y）與原點（0，0）的直線的斜率，而滿足等式(x-2)2+y2=3的點（x，y）在以（2，0）為圓心，半徑為3的圓上.如圖，則問題轉化為圓上的點與原點連線的斜率的最大值，此最值在與圓相切的情形產生，易知為3.故選D.

三、轉換思維角度法

有許多知識是相互聯系的.如果就題目本身所提供的信息，只從一個角度思考，有時會找不到思路；或雖有思路，但計算量大.這時，若能利用知識間的相互聯系，換個角度來分析，則往往能化繁為簡.

例6 函數y=ex-e-x2的反函數.

A.是奇函數，在（0，+∞）上是減函數

B.是偶函數，在（0，+∞）上是減函數

C.是奇函數，在（0，+∞）上是增函數

D.是偶函數，在（0，+∞）上是增函數

分析 若直接求出反函數，再判別其奇偶性和單調性，不但耗時耗力，且出錯率高.考慮到反函數與原函數有相同的單調性和相同的奇偶性，解題時可以換個角度思考，考慮原函數的奇偶性和單調性.顯然原函數y=ex-e-x2為奇函數，且在（0，+∞）上是單調遞增，故其反函數為奇函數，且也在（0，+∞）上是單調遞增.故選C.

例7 不等式組x>-1，3-x3+x>2-x2+x的解集是().

A.{x|0

B.{x|0

C.{x|0

D.{x|0

分析 若根據題目本身提供的條件去解不等式，則運算繁瑣.若我們利用不等式與方程之間的緊密關系：不等式解集的上界、下界與相應方程的解有關，從方程的角度來處理問題，則能簡化計算.

考察方程3-x3+x=2-x2+x在x>-1的條件下的解：由3-x3+x=±2-x2+x，不難解得x=0或x=±6.因為x>-1，所以x=0或x=6.此時，已不難從四個選項中找出正確的答案{x|0

四、特殊檢驗法

尋求寓于一般性中的特殊性，將研究的問題從原有范圍縮小到較小范圍或個別情形去考察，以充分條件代充要條件，這對提高解選擇題的效率不失為一種有效的方法.如：

例8 等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為().

A.130

B.170

C.210

D.260

分析 取m=1，則a1=S1=30，a2=S2-S1=70.

從而公差d=40，故a3=a2+d=110.

∴S3=S2+a3=110.故選C.

例9 過拋物線y=ax2(a>0)的焦點F作一條直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PF，QF的長分別為p，q，則1p+1q的值為().

A.4a

B.3a

C.2a

D.5a

分析 此拋物線的焦點在y軸上，為F0，14a.取直線與y軸垂直的情形來分析，即當y=14a時，x=-12a或x=12a，即p=q=12a.所以1p+1q=4a.故選擇A.

五、排除法

選擇題只關注正確答案，不必作精確的計算.在選擇題中，有許多信息就包含在選項中，故解選擇題往往可以打破常規，充分利用題目條件和選項，本著多思考、少計算、特殊化的原則進行解答.如：

例10 下列函數中，在區間0，π2上為增函數且以π為周期的函數是().

A.y=sinx2

B.y=sinx

C.y=-tanx

D.y=-cos2x

分析 由函數以π為周期，可排除A，B；由函數在區間0，π2上為增函數，可排除C.故選D.

例11 函數f(x)=log2|x|，g(x)=-x2+2，則f(x)#8226;g(x)的圖像只可能是().

分析 因為f(x)與g(x)都是偶函數，所以f(x)#8226;g(x)也是偶函數，圖像關于y軸對稱，由此可排除A，D.又由x→+∞時，f(x)#8226;g(x)→-∞，可排除B.故選C.

在高考的《考試說明》中對運算能力也有這樣的要求：“能分析條件尋求設計合理、簡捷的運算途徑，能根據要求對數據進行估計和近似計算.”許多學生因為速度慢，解客觀題耗時過多，這事實上是一種隱性的失分，因為它占了主觀題的解答時間.所以，教師要幫助學生掌握合理、簡捷的方法去解選擇題.

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