談數學解題能力的培養

【摘要】數學的解題過程是思考的過程，在這個過程中培養的是人多方面的能力，包括直覺思維能力、辯證思維能力和聯想思維能力.而在解答每一道數學題目的過程中，這些思維能力又不是單獨而存在的，而是交叉進行，并且綜合運用的結果.

【關鍵詞】數學；解題能力

數學的解題一般而言分為三個步驟，第一步是審題，第二步是聯想，第三步是答題.解答數學題目不僅僅是一種學習的過程，在這個過程中更是對于學生能力的一種培養過程.筆者認為，數學的解題過程實際上是體現著對于直覺思維能力、辯證思維能力和聯想思維能力的培養.

1.聯想思維能力的培養

聯想思維指的是能夠在不同事物中找到共性，通過由此及彼的方式，將問題轉化，從而使之能夠通過自己已有的經驗來解決問題的一種心理過程.也就是說，聯想思維能力就是依據經驗，在不同題目中能夠通過題目的相似性實現題目之間的轉換，最終發現、尋找到類似的思維過程.

例如，當我們求像y=2-sinx÷2-cosx的最大值和最小值這一類型的題目的時候，如果按照常規的思維模式，就首先要將其變形，然后再利用正弦余弦函數的有界性，求出這個函數的最大值和最小值，從數學理論上來說，按照這種思路是可以求出y的極值的，但是，這樣做顯得非常繁瑣，這時，如果我們能通過聯想的方式，換一種思維方式的話，就會使得問題變得簡單化，也不至于我們會因為順勢解決問題的苦思冥想而陷入絕境.

以上的題例，我們可以拋棄常規的一些思路，解題前，先觀察y=2-sinx÷2-cosx這個函數等式，可以發現，它的形式與直線的斜率公式k=y2-y1÷x2-x1的形式極其相似，因此，通過聯想的方式，我們可以知道我們可以進行思維轉換，把y看成是點P(cosx，sinx)和點（2，2）的這樣一條直線的斜率，這樣轉換思考，問題就變得簡單得多了.這樣就省去了通過三角函數公式來化簡y=2-sinx÷2-cosx的一系列麻煩而直接轉化為簡單的斜率問題.

2.直覺思維能力的培養

在數學解題過程中培養學生的數學直覺思維能力，既可以增強學生的創新能力，又可以提高學生的創造能力.

直覺指的是不經邏輯推理的直觀，它是憑借已獲得的知識和經驗為判斷的依據.美國心理學家布魯納曾這樣說過：“直覺是一種行為，通過這種行為，人們可以不必明顯地依靠分析技巧而掌握問題或者情境的意義，重要性和結構.”

直覺思維是在邏輯思維和形象思維發展到一定水平后，這兩種思維經由量變而達到質變的結果.

在這個意義上說，數學解題的數學直覺是對待解決的數學對象研讀之后的某種頓悟，其產生的結構是以經驗為基礎的.

很多的數學家都承認直覺思維對于解決數學題目具有重要的作用.法國數學家彭家勒曾說過，邏輯是證明的工具，直覺是發明的工具.法國科學家龐加萊也曾說過：“沒有直覺，年輕人在理解數學時便無從著手，他們不可能學會熱愛它，他們從中看到的只是空洞的玩弄辭藻的爭論，尤其是，沒有直覺，他們永遠也不會有應用數學的能力……如果直覺對學生是有用的，那么，對于有創造性的科學家來說，它更是須臾不可或缺的.”“其成功的大小取決于這種直覺在他們身上所發揮的程度大小.”所以說，直覺思維對于數學解題時的創造意識和能力都起著重要的作用.

培養解決數學問題的方法，一般而言，包括類比形式，引發直覺頓悟、直觀圖形，啟發直覺頓悟、整體情境，誘發直覺靈感.

3.辯證思維能力的培養

所謂辯證思維能力指的是對某一問題的思考從正反兩方面進行，充分的對其進行考慮的一種思維過程.

在解決數學問題的時候，利用辯證的思想進行思考和解決數學問題，不僅能提高學生的思想素質，而且可以培養他們養成一種正確的世界觀和解決問題的方法.世界上的任何事物都是辯證法轉化而來的，而數學領域也是無處不在的，因而恩格斯曾說，數學是辯證法的輔助工具和變現形式.

在數學的解題策略和解題方法以及路徑的選擇中都充斥著辯證的思維.這種思維模式的形成始終以每個人所具有的整個知識結構作為知道的依據，它是建立在時間和邏輯思維之上的一種認知思維方式.

例如在一些相對復雜的數學題目中，只有通過對于題目正反兩方面的分析，最終才會得到自己想要的答案，否則，只會讓問題越來越復雜化.

比如上述舉例的那一道題目，求出最大值和最小值的問題，這樣的問題是典型的通過辯證的思維方法才能解決的問題，通過點P的運動，來看最遠達到哪里，最近達到哪里.如果只是在從一種模式出發去思考，最終肯定得不到答案，或者得到的答案并不完整.所以，要保證數學題目在解答過程中既正確又完整，就必須從正反兩個方面對其進行考慮.

在解答數學題目的過程中，并不是說，每一種能力的培養都是單一進行，在很多的時候，往往都是有交叉的，并不是說，這一類型的題目必須要用這樣的思維模式，那一類型的題目必須用另外一種思維模式.只有在整體的思維下，將這些思考綜合，適宜地選用，才會得到自己想要的答案.例如，在高中課本中有關立體幾何一章節中，關于圓的公式（這里專指圓柱的體積公式，圓柱的體積=底面積×高）推導就是綜合運用多種思維的方式結果顯現.當我們拿到一個圓的時候，用平行于底面的平面將圓分為n個圓，這些圓都近似于圓片，然后，再算出每個部分的體積，將其相加，最后得到的就是整個圓柱的體積.在這個過程中，既有對于題目的一種直覺思考、最后分析的結果，也有通過大小、總分這樣辯證關系地位模式的運用.所以，從這個意義上來說，任何一道數學題目的解決并不是任何一種單一思維模式的運用，而是多種思維模式共同作用的結果.只有這樣，才能真正地得到創新的答案，真正地在數學解題的過程中打開我們的思考方式.

【參考文獻】

［1］李文興，吳開朗.關于數學直覺思維的幾個問題［J］.臺灣：數學傳播，2000（3）.

［2］任樟輝.數學思維［M］.南寧：廣西教育出版社，1996.