三維幾何概型,點綴數學天堂

幾何概型是高中新課程數學概率部分中的新增內容，其特點鮮明，應用性強，在新課程高考中備受關注.解決幾何概型的關鍵是利用已知條件建立適當的幾何模型.一般地，在幾何區域D中隨機取點，記事件“該點落在其內部一個區域d內”這一事件為A，則事件A發生的概率P(A)=d測度D測度.本文以高考題及部分省市質檢題為例，分別就測度在一維、二維和三維中的體現，梳理如下.

一、一維幾何概型

一維實際是指的是一條線，在理解上即為左右一個方向.也可理解為點動成線，只有長度，沒有寬度和高度.

例1 （2010年湖南卷理11）在區間［-1，2］上隨機取一個數x，則|x|≤1的概率為.

分析 數軸上的動點構成線段，所以本題測度定位長度.

解 記事件“|x|≤1”為事件A，則d測度為|1-(-1)|=2，D測度為|2-(-1)|=3，則P(A)=d測度D測度=23.

例2 平面內有一組等距的平行直線，其距離為2a，半徑為r

分析 本題的測度為長度，是硬幣的中心到平行直線a，b的距離問題.

圖 1

解 記事件“硬幣不與任一條直線相碰”為事件A，在平面內有一組等距的平行直線中選取兩條相鄰直線a，b進行研究(如圖1).

設硬幣的中心字母為O，過中心O向直線a作垂線，垂足為M.

由“半徑為r

即D測度為2a.

又“硬幣不與任一條直線相碰”，得到硬幣的中心到平行直線的范圍為r

即d測度為(2a-r)-r=2a-2r.

則P(A)=d測度D測度=2a-2r2a=a-ra.

所以，硬幣不與任一條直線相碰的概率為a-ra.

評注 “硬幣不與任一條直線相碰”與“硬幣不與任一條直線相碰”互為互斥事件，本題亦可用正難則反的思想方法來解決.

例3 在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率？

圖 2

分析 本題的測度為長度.

記事件“AM小于AC”為事件A.

在AB邊上取點S，使得AD=AC(如圖2).

又由“等腰直角三角形ABC”，

得到AB=2AC=2AD.

由“斜邊AB上任取一點M”，

得到0≤AB≤AB，即D測度為AB.

由“AM小于AC”，得到0≤AM

則P(A)=d測度D測度=ADAB=22.

所以，AM小于AC的概率為22.

在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM小于AC的概率.圖 3

分析 本題測度是角度.

記事件“AM小于AC”為事件A.

在AB邊上取點D，使得AD=AC(如圖3).

又由“等腰直角三角形ABC”，

得到∠ACD=∠ADC=67.5°.

由“斜邊AB上任取一點M”，

得到0°≤∠ACM≤90°，即D測度為90°.

由“AM小于AC”，

得到0°≤∠ACM<67.5°，即d測度為67.5°.

則P(A)=d測度D測度=67.590=34.

二、二維幾何概型

二維即前后、上下兩個方向，不存在左右.也可理解為線動成面，只有長度和寬度，沒有高度，即只有面積.在一張紙上的內容就可以看成是二維，是沒有厚度的物體.

例4 半徑為10 cm的圓形紙板內有一個相同圓心的半徑為1 cm的小圓．現將半徑為1 cm的一枚硬幣拋到此紙板上，使硬幣整體隨機落在紙板內，求硬幣落下后與小圓無公共點的概率?

分析 本題的測度為面積.

記事件“硬幣落下后與小圓無公共點”為事件A.

圖 4

設小圓圓心為O，硬幣中心為O′，連接OO′(如圖4).

由“硬幣拋到此紙板上”，得到硬幣中心落在以O為圓心，9為半徑的圓及其圓內部分，即D的測度為81π.

又“硬幣落下后與小圓無公共點”，

得到硬幣中心落在以O為圓心，半徑2到9的圓環及其內部，

即d的測度為π(92-22)=77π.

則P(A)=d測度D測度=77π81π=7781.

所以，硬幣落下后與小圓無公共點的概率為7781.

總結 “硬幣落下后與小圓無公共點”與“硬幣落下后與小圓有公共點”互為互斥事件，本題亦可用正難則反的思想方法來解決.

三、三維幾何概型

三維即前后、上下、左右三個方向.也可理解為面動成體，長度、寬度和高度都有，即只有體積.

例5 在三棱錐D-ABC內任取一點Q，求其與底面ABC構成體積超過原來一半的概率？

分析 本題的測度為體積.

記事件“三棱錐Q-ABC的體積超過三棱錐D-ABC一半”為事件A.

由“三棱錐D-ABC內任取一點Q”，

得到點Q所在區域為三棱錐D-ABC內，

即D的測度為VD-ABC.

圖 5

又“三棱錐Q-ABC的體積超過三棱錐D-ABC一半”，

取DA中點M，DB中點N，DC中點O，連接MN，MO，NO（如圖5），

得到點Q所在區域為三棱錐D-MNO內，即d的測度為VD-MNO.

則P(A)=d測度D測度=VD-MNOVD-ABC

=DMDA3=123=18.

所以，三棱錐Q-ABC的體積超過三棱錐D-ABC一半的概率為18.

例6 在(0，1)內任取3數，求這三個數能作為邊構成三角形的概率.

分析 記事件“在(0，1)內任取3數能作為邊構成三角形”為事件A.

圖 6

設在(0，1)內任取3數為x，y，z.

則x，y，z這三個數構成的點(x，y，z)在正方體A1B1C1D1-ABCD內，如圖6，A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(1，1，0)，D1(0，1，0)，A(0，0，1)，B(1，0，1)，C(1，1，1)，D(0，1，1)，本題的測度為體積.

由“(0，1)內任取3數”，

得到D的測度為VA1B1C1D1-ABCD=1.

由“在(0，1)內任取3數能作為邊構成三角形”，

得到x，y，z這三個數應滿足x+y>z，y+z>x，x+z>y.

其中x+y=z表示的平面為平面A1BD，

y+z=x表示的平面為平面A1C1B，

x+z=y表示的平面為平面A1C1D，

所以點(x，y，z)在多面體A1C1CBD中（如圖7）.

圖 7

即d的測度為VA1-C1BD+VC-C1BD=VA1B1C1D1-ABCD-3VC-C1BD=1-3×13×12=12.

則P(A)=d測度D測度=12.

所以，在(0，1)內任取3數能作為邊構成三角形的概率為12.

求幾何概型的概率，最關鍵的一步是求事件A所包含的基本事件所占據的區域的測度，這里需要解析幾何的知識，而最困難的地方是找出基本事件P(x，y)的約束條件，找出約束條件后，就像線性規劃求可行域一樣求其測度就不困難了.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文