分部積分法解題方法淺析

【摘要】一元函數微積分是高職高專學生必學內容，學生普遍感到求積分比較困難，特別是求不定積分.分部積分法是求不定積分的重要方法，通過多年對分部積分法的教學探索，從三個方面進行了分析，不僅可提高學生的理解能力，而且有助于學生熟練掌握這種積分方法.

【關鍵詞】不定積分；分部積分法；解題方法

高等數學是高職高專的一門公共基礎課，微積分是高職高專學生必學內容.一元函數微積分實際上就是兩部分內容，一部分是微分（極限、導數、導數的應用），一部分是積分（不定積分、定積分）.對于高職學生來講，求函數的導數相對來說比較容易理解，計算方法也比較容易掌握.而對于積分來說學生就感覺到比較困難，有時做題無從下手.不定積分的方法主要有：直接積分法、換元積分法（第一類、第二類換元積分法）、分部積分法.這幾種方法，有時單獨使用，有時需要交叉使用，什么情況下用一種方法或用幾種方法去解決問題，學生掌握有困難，原因是未掌握各種積分方法的特點，下面就不定積分的分部積分法的解題方法進行分析.

分部積分法就是用分部積分公式：∫udv=uv-∫vdu求積分的一種方法.

用這種方法求積分的關鍵是：左邊的積分∫udv不容易求出，通過公式轉化成右邊的積分∫vdu比較容易求出，這就需要掌握左邊積分的特點，還要正確選擇u和v.u和v選擇得正確，可使問題簡化，u和v選擇得不正確，則使問題復雜，不容易求出積分，就要重新選擇.那么什么樣的積分用分部積分法來求呢？可以從以下幾個方面考慮：

一、被積函數是兩個不同類型的函數的乘積

常見的有四類函數的乘積：代數函數與對數函數的乘積（簡稱代對）；代數函數與三角函數的乘積（簡稱三代）；代數函數與反三角函數的乘積（簡稱代反）；代數函數與指數函數的乘積（簡稱代指），這時用換元積分法不能奏效，考慮用分部積分法.

例1 求積分∫x2log2xdx.

解 被積函數是代數函數（冪函數）與對數函數的乘積，用分部積分法，選對數函數作u，余下的作dv，簡稱代對選對，令u=log2x，v=x33，則有

∫x2log2xdx=∫log2xdx33=x33log2x-∫x33dlog2x

=x33log2x-13ln2∫x2dx=x33log2x-x39ln2+C.

如積分∫xnlnxdx(n≠-1)，∫xln2xdx，用上述積分方法，即可求出積分.

例2 求積分∫xarccotxdx.

解 被積函數是代數函數與反三角函數的乘積，用分部積分法，選反三角函數作u，余下的作dv，簡稱代反選反，令u=arccotx，v=x22，則有

∫xarccotxdx=x22arccotx+12∫x1+x2dx

=x22arccotx+12∫x21+x2dx

=x22arccotx+12∫1-11+x2

=x22arccotx+12(x+arccotx)+C.

例3 求積分∫x2cosxdx.

解 被積函數為代數函數與余弦函數乘積，用分部積分法，選代數函數作u，余下的作dv，簡稱三代選代，令u=x2，v=sinx，則有

∫x2cosxdx=∫x2dsinx=x2sinx-2∫xsinxdx

=x2sinx+2∫xdcosx

=x2sinx+2(xcosx-∫cosxdx)

=x2sinx+2xcosx-2sinx+C.

可以看出，被積函數為代數函數（冪函數）乘正（余）弦函數，設冪函數為u，正（余）弦函數為v，通過分部積分公式轉換成右端形式后，冪函數的次數降低一次，求出積分.

一般地，∫xncosxdx，∫xnsinxdx（n為正整數），用n次分部積分公式可求出積分.

例4 求積分∫x#8226;2xdx.

解 被積函數是代數函數與指數函數的乘積，用分部積分法，選代數函數作u，余下的作dv，簡稱代指選代，令u=x，v=2xln2，則有

∫x#8226;2xdx=x#8226;2xln2-1ln2∫2xdx=x#8226;2xln2-2xln22+C.

同理，對于積分∫xnexdx，設冪函數為u，用n次分部積分公式可求出積分.

二、被積函數變形后，再用分部積分法

有些被積函數不是上述四種類型的函數，但通過變形后也可以用分部積分法來求積分.對被積函數進行變形：一是進行恒等變形，二是利用第二類換元積分法去根號，再用分部積分法.

例5 求積分∫xtan2xdx.

解 本題不是上述四類函數的積分，但變形后可用分部積分法.

∫xtan2xdx=∫x(sec2x-1)dx=∫xsec2xdx-∫xdx

=∫xdtanx-∫xdx=xtanx-∫tanxdx-12x2

=xtanx+ln|cosx|-x22+C.

如積分∫x1+cos2xdx也是先變形，再求積分.

例6 求積分∫e3xdx.

解 被積函數中含有根號，應先去根號，再用分部積分法，代指選指.

∫e3xdxx=t33∫t2etdt=3∫t2dtt=3t2et-6∫tetdt

=3t2et-6∫tdet=3t2et-6tet+6∫etdt

=3t2et-6tet+6et+C

t=3x3e3x(3x2-23x+2)+C.

如積分∫exdx，∫e3x+9dx，∫xsinxdx都可用這種方法求.

三、左右兩端出現相同的積分，移項求積分

有些函數的積分，也不是上述四類函數的積分，可以用分部積分法求，但在求的過程中，不能直接求出結果，會出現與左邊相同的積分，而符號相反，可通過移項，求出積分.

例7 求積分∫exsinxdx.

解 被積函數是指數函數與正弦函數的乘積，任選指數函數或正弦函數作u，余下的作dv，簡稱指弦任選.

∫exsinxdx=∫sinxdex=exsinx-∫excosxdx.

等式右端的積分與左端的積分是同一類型的（都是指數函數與正（余）弦函數的乘積），對右端再用一次分部積分法.

∫exsinxdx=exsinx-∫cosxdex

=exsinx-excosx-∫exsinxdx.

將右端積分移到左端，兩端同除以2，再加上積分常數C，得

∫exsinxdx=12ex(sinx-cosx)+C.

注意 求解過程中，每次選u必須與前一次選的函數相同，否則，不能求出積分.

如積分∫excosxdx，∫cos(lnx)dx，∫sin(lnx)dx，∫sec3xdx都用移項方法求積分.

通過以上解題方法的分析，只要掌握了分部積分法的特點和規律，再多做一些練習，就比較容易地掌握這種求積分的方法，使學生感覺到用分部積分法求積分不再困難，提高學生的學習興趣和效率.

【參考文獻】

［1］陸慶樂.高等數學［M］.西安：西安交通大學出版社，2000.

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［3］劉書田等.微積分［M］.北京：高等教育出版社，2005.

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