基于二次函數(shù)求解一類(lèi)最值的探究

【摘要】在高考的知識(shí)考查中，對(duì)于二次函數(shù)一類(lèi)最值的求解問(wèn)題備受青睞.然而，二次函數(shù)在初中教材中作了較詳細(xì)的研究，鑒于初中學(xué)生基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，又受其接受能力的限制，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的，從本質(zhì)上加以理解比較難.進(jìn)入高中以后，特別是在高三復(fù)習(xí)階段，對(duì)二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)，要對(duì)其基本概念和基本性質(zhì)靈活應(yīng)用.本文就求解二次函數(shù)一類(lèi)最值作出技術(shù)性探究，歸結(jié)出該類(lèi)問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想和方法，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題上提供了參考.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)概念；二次函數(shù)；性質(zhì)；最值；應(yīng)用

學(xué)生在初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射的觀點(diǎn)來(lái)闡明函數(shù)，這時(shí)就可以在一定程度上用學(xué)生已了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來(lái)加深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念.二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素x對(duì)應(yīng)，記為f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，這里的ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在值域中的函數(shù)值.從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問(wèn)題：

題型Ⅰ 已知f(x)=2x2+x+2，求f(x+1).

這里不能把f(x+1)理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值.

題型Ⅱ 設(shè)f(x+1)=x2-4x+1，求f(x).

這個(gè)問(wèn)題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則f下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素x的象，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則.

通常有兩種方法：

(1)把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式.

f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x取代x+1，得f(x)=x2-6x+6.

(2)變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都可適用.

令t=x+1，則x=t-1，∴f(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6，從而f(x)=x2-6x+6.

具備以上的基本概念后，回顧在高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，首當(dāng)其沖的就是函數(shù)的單調(diào)性，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在區(qū)間(-∞，x0］與［x0，+∞)（其中x0=-b2a為二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸）上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺(jué)地利用圖像學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性.

二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，x∈［m，n］，求f(x)最值.

分析 在a>0情形下，按題中給定的區(qū)間與二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸x0=-b2a相對(duì)位置作出如下討論：

1.區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸x0=-b2a的左邊（如圖1所示）；

2.區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸x0=-b2a的右邊（如圖2所示）；

3.對(duì)稱(chēng)軸x0=-b2a在區(qū)間之間（如圖3所示）.

x0=-b2a圖 1

x0=-b2a圖 2

x0=-b2a圖 3

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，由圖不難得出最值：

圖1中f(x)max=f(m)，f(x)min=f(n)；

圖2中f(x)max=f(n)，f(x)min=f(m)；

圖3中f(x)max=max{f(m)，f(n)}，f(x)min=f(x0)，此種情形下，要對(duì)兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)的大小進(jìn)行判斷，端點(diǎn)函數(shù)值大的，則為函數(shù)f(x)在x∈［m，n］上的最大值.

值得指出的是：并不是所有題中的已知條件給出的都是在閉區(qū)間上的最值，有左開(kāi)右閉、左閉右開(kāi)、開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間四種情形，注意開(kāi)區(qū)間和半閉半開(kāi)區(qū)間這兩種情形，在端點(diǎn)處的取值.

例 函數(shù)f(x)=2x2-6x+1，試求在區(qū)間x∈(-1，1］上的函數(shù)f(x)最值.

解析 由題可知函數(shù)f(x)的圖像開(kāi)口向上，其對(duì)稱(chēng)軸為x0=32，易知給定的區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸左邊的圖像為單調(diào)遞減，說(shuō)明最小值在區(qū)間右端點(diǎn)取得，最小值為f(1)=-3；左端點(diǎn)取不到，所以不存在最大值.故函數(shù)f(x)在區(qū)間x∈(-1，1］上的最小值為f(x)min=-3.

二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延.作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以編擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文