變式教材習題 提高復習效率

數學教學中，若扎根教材，對課本中的習題進行變式訓練，不僅可以抓好雙基，而且使學生重視教材、研究教材，發展學生能力，提高復習效率，進而培養思維的深刻性，激發求知欲，提高解題能力.下面是對課本習題變式教學的探討.

題 蘇教版（必修4）三角函數復習題17題：

一鐵棒欲通過如圖所示的直角走廊，試回答下列問題：

（1）證明棒長：

l(θ)=95sinθ+65cosθ；

（2）當θ∈0，π2，作出上述函數的圖像并求l(θ)的最小值；（可用計算器或計算機）

（3）解釋（2）中所求的l能通過這個直角走廊的鐵棒的長度的最大值.

解 （1）略.（2）（3）由圖像易知結果，這里不詳細講解.

本題背景與生活聯系密切，是一道典型的應用題，為了充分發揮本題的價值，結合生活實際，引申出下面問題.

變式1 如圖，一條直角走廊寬2 m，現有一平板車，平板車面為寬為1 m的矩形.

（1）若平板車卡在直角走廊內，且∠CAB=θ，試求平板車面的長.（用θ表示）

（2）若平板車想要順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米？

解 （1）如圖，EF=DM+DN-MF-EN=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ0≤θ≤π2.

（2）“平板車要想順利通過直角走廊”，即對任意角0≤θ≤π2，平板車的長度不能超過，即平板車的長度

變式2 如圖，一條走廊拐彎處外側是直角形，內側是半徑為1米的14圓弧，走廊直道部分的寬為1米，現有一平板車，其平板面為矩形，它的長為2米，寬為l米.

（1）若平板車卡在走廊內，且∠CAB=θ，試求平板面的寬.（用θ表示）

（2）若平板車想要順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米？

解 （1）CH=2sinθcosθ+l+1.

又 ∵CH=CE+EH=2(sinθ+cosθ)，

∴2sinθcosθ+l+1=2(sinθ+cosθ)，

∴l=2(sinθ+cosθ)-2sinθcosθ-10≤θ≤π2.

（2）記sinθ+cosθ=t，1≤t≤2，有sinθcosθ=t2-12，

∴l(t)=2t-t2=-(t-1)2+1，

∴lmin=l(2)=2(2-1).

故寬度不能超過2(2-1)米.

變式3 如圖，一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內壁FG和外壁BC都是半徑為1 m的四分之一圓弧，AB，DC分別與圓弧BC相切于點B，C兩點，EF∥AB，GH∥CD，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1 m.

（1）若水平放置的木棒MN的兩個端點M，N分別在外壁CD和AB上，且木棒與內壁圓弧相切于點P，設∠CMN=θ(rad)，試用θ表示木棒MN的長度f(θ).

（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，則求木棒長度的最大值.

解 (1)設圓弧FG所在圓的圓心為Q，過Q點作CD的垂線，垂足為點T，且交MN或其延長線于S，并連接PQ，再過N點作TQ的垂線，垂足為W.在Rt△NWS中，

∵NW=2，∠SNW=θ，∴NS=2cosθ.

∵MN與圓弧FG切于點P，∴PQ⊥MN.在Rt△QPS中，

∵PQ=1，∠PQS=θ，∴QS=1cosθ，QT-QS=2-1cosθ.

①若S在線段TG上，則TS=QT-QS，在Rt△STM中，MS=TSsinθ=QT-QSsinθ，因此MN=NS+MS=NS+QT-QSsinθ.

②若S在線段GT的延長線上，則TS=QS-QT，在Rt△STM中，MS=TSsinθ=QS-QTsinθ，因此MN=NS-MS=NS-QS-QTsinθ=NS+QT-QSsinθ.

f(θ)=MN=NS+QT-QSsinθ=2cosθ+2sinθ-1sinθcosθ

=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ0<θ<π2.

（2）解法同變式1（2）.

課堂教學中，對問題的變式已成為激發學生興趣，培養思維能力，自主探究的重要途徑之一.通過以上一道習題的更換背景的變式，我們所得到的不僅是會解本題，而是獲得研究問題的一般方法，同時還可以很好地“避免題海戰術”，培養學生思維的廣闊性和創造性.

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