Banach空間次高斯變量的重要結(jié)論

【摘要】利用重要不等式的研究方法，本文在Banach空間上研究了有界隨機(jī)變量的次高斯性，得出了重要結(jié)論:數(shù)學(xué)期望為零的有界B值隨機(jī)元是次高斯的，并得出參數(shù)τ的精確估計(jì).并進(jìn)而將研究延伸到Banach空間的特殊情形Hilbert空間上，也得到一些有用的結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】Banach空間；B值隨機(jī)元；次高斯變量；Hilbert空間

1.引 言

在實(shí)數(shù)空間和復(fù)數(shù)空間，有界隨機(jī)變量的次高斯性已經(jīng)得到了較好的研究（見參考文獻(xiàn)［6］和［7］），本文在已有的研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步在Banach空間上討論了有界隨機(jī)變量的次高斯性，得到重要結(jié)論：數(shù)學(xué)期望為零的有界B值隨機(jī)元是次高斯的，并得出參數(shù)τ的精確估計(jì).最后對(duì)Banach空間的特殊情形Hilbert空間也做了進(jìn)一步討論，得到一些有用的結(jié)論.

2.概 念

定義2.1 設(shè)β為Banach空間，β*是β的共軛空間，ξ是B值隨機(jī)元.若對(duì)任意的f∈β*，f(ξ)都是次Gauss的，則我們稱β中的隨機(jī)元ξ是次Gauss的.

3.重要結(jié)論

定理3.1 設(shè)β為Banach空間，記B中的范數(shù)為‖#8226;‖，β*是β的共軛空間，ξ是B值獨(dú)立隨機(jī)元，若E(ξ)=0，且存在常數(shù)M>0，使‖ξ‖≤M，則隨機(jī)元ξ是次Gauss的.

證明 對(duì)任意的f∈β*，有

|f(ξ)|≤‖f‖‖ξ‖，ξ∈β.

對(duì)任意數(shù)λ，λ∈β的數(shù)域，有

|Re(λf(ξ))|≤|λ||f(ξ)|.有

E(eRe(λf(ξ))）

=1+∑∞n=1E(Re(λf(ξ)))nn!

≤1+∑∞n=2‖f‖nMnλnn!

=e|λ|#8226;‖f‖M-|λ|‖f‖M

≤eM2|λ|2‖f‖2=eτ2|λ|22.

其中τ=2‖f‖M，從而f(ξ)為服從參數(shù)τ=2‖f‖M的次Gauss變量，再由定義2.1知B值隨機(jī)元ξ是次Gauss的.

注 若‖f‖=2，ξ≤12，則隨機(jī)變量f(ξ)是次正態(tài)的.

證明 ∵E(eRe(λf(ξ)))≤eM2|λ|2‖f‖2=e122λ2(2)2=eλ22，

從而可知隨機(jī)變量f(ξ)是次正態(tài)的.

下面在定理3.1的基礎(chǔ)上，我們假設(shè)B值隨機(jī)元ξ是對(duì)稱情形，從而得到更精確的結(jié)論：

定理3.2 設(shè)β為Banach空間，記B中的范數(shù)為‖#8226;‖，β*是β的共軛空間，ξ是β中B值獨(dú)立對(duì)稱隨機(jī)元，且存在常數(shù)M>0，使‖ξ‖≤M，則隨機(jī)元ξ是次Gauss的.

證明 由ξ是對(duì)稱的，任意f∈β*，任意λ∈β的數(shù)域，有

E(eRe(λf(ξ)))

=∑∞n=0E(Re(λf(ξ)))2n2n!

≤∑∞n=0E(|λ|2n‖f‖2n‖ξ‖2n)2n!

≤∑∞n=0‖f‖2nM2n|λ|2n2n!

≤∑∞n=0(‖f‖Mλ)2nn!2n

≤∑∞n=0|λ|2‖f‖2M22nn!

=e|λ|2‖f‖2M22=eτ2|λ|22.

其中τ=‖f‖M，從而f(ξ)為服從參數(shù)τ=‖f‖M的次Gauss變量，再由定義2.1知B值隨機(jī)元ξ是次Gauss的.

注 若‖f‖=1，ξ≤1，則隨機(jī)變量f(ξ)是次正態(tài)的.

證明 ∵E(eRe(λf(ξ)))≤e|λ|2‖f‖2M22=eλ22，從而可知隨機(jī)變量f(ξ)是次正態(tài)的.

由于Hilbert空間是Banach空間的特殊情形，我們又可以得到下面一些有用結(jié)論：

引理3.3 B空間(β，‖#8226;‖)中的‖#8226;‖滿足‖x+y‖2+‖x-y‖2=2(‖x‖2+‖y‖2)(x，y∈β)，可以在β上引進(jìn)一個(gè)內(nèi)積(#8226;，#8226;）使β是Hilbert空間并滿足(x，x)12=‖x‖(x∈β).（見文獻(xiàn)［2］第一章命題1.6.13）

引理3.4 設(shè)H是Hilbert空間，則對(duì)于H上的任一有界線性泛函f，存在唯一的z∈H使f(x)=(x，z)，x∈H，且‖f‖=‖z‖.（見文獻(xiàn)［2］第二章命題2.2.1）

定理3.5 H是Hilbert空間，ξ是H值隨機(jī)元.若z∈H，(ξ，z)為次高斯隨機(jī)變量，那么ξ為次高斯隨機(jī)元.

證明 z∈H，(ξ，z)為次高斯隨機(jī)變量，由引理3.4知f(ξ)=(ξ，z)，∴f(ξ)為次高斯變量，由概念2.1知，ξ為次高斯隨機(jī)元.

定理3.6 H是Hilbert空間，ξ是H值隨機(jī)元.若M>0，使‖ξ‖≤M且Eξ=0，則ξ為次高斯隨機(jī)元.

證明 因?yàn)镠是Hilbert空間，ξ是H值隨機(jī)元，所以顯然ξ是B值隨機(jī)元，又由定理3.1知，結(jié)論得證.

定理3.7 H是Hilbert空間，ξ是H值對(duì)稱隨機(jī)元.若M>0，使 ‖ξ‖≤M，則ξ為次高斯隨機(jī)元.

證明 因?yàn)镠是Hilbert空間，ξ是H值隨機(jī)元，所以顯然ξ是B值隨機(jī)元，又由定理3.2知，結(jié)論得證.

【參考文獻(xiàn)】

［1］J-P卡昂納.函數(shù)項(xiàng)隨機(jī)級(jí)數(shù)［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，1993：57-59.

［2］張恭慶，林源渠.泛函分析講義［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1990.

［3］嚴(yán)加安.測(cè)度論講義［M］.北京：科學(xué)出版社，2000.

［4］吳智泉，王向忱.巴氏空間上的概率論.長(zhǎng)春：吉林大學(xué)出版社，1990.

［5］定光桂.巴拿赫空間引論.北京：科學(xué)出版社，1984.

［6］余彬，謝清，張艷麗.復(fù)次高斯變量［J］.湖北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，29（1）：22-24.

［7］吳尚文.有界隨機(jī)變量的次高斯性［J］.湖北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003，25（1）：287-289.

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