淺談數學思想在解題中的運用

數學思想，是人們對所學數學知識的本質認識，是從某些具體數學認識過程中提煉出的一些普遍存在的規律.數學思想方法是數學的靈魂，它反映在數學教學內容里面，體現在解決問題的過程之中，它是將知識轉化為能力的橋梁.只有運用數學思想方法，才能把數學知識和技能轉化為分析問題和解決問題的能力.

一、分類討論的思想

在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統一研究，我們就需要根據數學對象的本質屬性的異同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，從而達到解決整個問題的目的的思想方法，稱為分類討論的思想.分類討論本質上是“化整為零，積零為整”的解題策略.

引起分類討論的原因，通常有以下幾種：①涉及的數學概念是分類定義的（如|x|的定義，P點分線段的比等）；②公式、定理、性質或運算法則的應用范圍受到限制；③幾何圖形中點、線、面的相對位置不確定；④求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性；⑤數學問題中含有參變量，這些參變量的不同取值會導致不同結果.

分類討論的一般步驟是：（1）確定討論對象和確定研究的全域；（2）進行科學分類（按照某一確定的標準在比較的基礎上分類），“比較”是分類的前提，“分類”是比較的結果.分類時，應不重復，不遺漏；（3）逐類討論；（4）歸納小結，整合得出結論.

例1 設等比數列｛an｝的公比為q，前n項和Sn＞0（n=1，2，3，…）.

（1）求q的取值范圍；

（2）設bn=an+2-32an+1，｛bn｝的前n項和為Tn，試比較Sn與Tn的大小.

解 （1）∵｛an｝是等比數列，Sn＞0，可得a1=S1＞0，q≠0.

當q=1時，Sn=na1＞0；

當q≠1時，Sn=a1(1-qn)1-q＞0，

即1-qn1-q＞0（n=1，2，3，…）.

則有1-q>0，1-qn>0，①或1-q<0，1-qn<0.②

由②，得q＞1.由①，得-1

故q的取值范圍是（-1，0）∪（0，+∞）.

（2）由bn=an+2-32an+1=anq2-32q，

∴Tn=q2-32qSn.

于是Tn-Sn=Snq2-32q-1=Snq+12（q-2）.

又 Sn＞0且-1

則當-1

當-12

當q=-12或q=2時，Tn-Sn=0，即Tn=Sn.

點評 考查數列基本知識，考查分析問題能力和推理能力，重點考查了分類討論的思想.

二、數形結合的思想

數形結合思想，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法.

數形結合思想的基本思路是：根據數的結構特征，構造出與之相適用的幾何圖形并利用圖形的特征和規律，解決數的問題；或將圖形信息部分或全部轉換成代數信息，削弱或消除形的推理部分，使要解決的形的問題轉化為數量關系的討論.其本質是：使抽象的數與直觀的圖互相聯系、互相滲透、互相轉化，使抽象問題直觀化、復雜問題簡單化，從而優化解題途徑.

基本方法：（1）數量關系問題轉化為圖形性質問題.（2）圖形性質問題轉化為數量關系問題.（3）數量關系與圖形性質相互對照、相互滲透實現數形結合，常與以下內容有關：①實數與數軸上的點的對應關系；②函數與圖像的對應關系；③曲線與方程的對應關系；④所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義.

三、特殊與一般的思想方法

由特殊到一般再由一般到特殊反復認識的過程是人們認識世界的基本過程之一.數學研究也不例外，這種由特殊到一般、由一般到特殊的研究數學問題的基本認識過程就是數學研究中特殊與一般的思想.

由特殊到一般的思想的運用水平，能反映出考生的數學素養和一般能力，所以考查特殊與一般的思想在高考中占有重要位置.在高考中，有意設計一些能集中體現特殊與一般思想的試題，突出體現了特殊化方法的意義與作用.如通過構造特殊函數、特殊數列，尋找特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解決一般問題、抽象問題、運動變化問題、不確定問題.

例2 （2007年江蘇常州市）如果函數y=sin2x+acos2x的圖像關于直線x=-π8對稱，那么a=.

解 ∵函數f(x)=sin2x+acos2x的圖像關于直線x=-π8對稱，則f(x)=f-π4-x，

即sin2x+acos2x=sin2-π4-x+acos2-π4-x，

得sin2x+acos2x=-cos2x-asin2x恒成立.

∴（1+a）(sin2x+cos2x)=0恒成立.

則必有1+a=0，∴a=-1.

點評 本題主要考查三角函數的對稱性問題，若函數f（x)的圖像關于直線x=a對稱，則恒有f(x)=f(2a-x)成立，但作為填空題，可以取特值進行運算.特殊與一般的思想方法是廣泛適用的一種重要的數學思想方法，對于一般性問題、抽象問題、運動變化問題和不確定問題都可考慮運用特殊與一般的思想方法去探求解題途徑.

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