用微積分解決數(shù)列問題的嘗試

【摘要】新課改后，作為大學數(shù)學教學內(nèi)容的微積分基本知識下放到中學數(shù)學課本里，但對微分的應用方面只介紹了通過對函數(shù)求導來判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的極值或相應參數(shù)的取值范圍；對于積分的應用也就簡單地介紹了一些曲線所圍面積的求法，其實微積分和中學數(shù)學的其他知識（比如數(shù)列）也可以交會，并能取得較好的解題效果.本文運用類比推理的方法，得出了根據(jù)數(shù)列前n項和Sn用微分求數(shù)列通項an及根據(jù)數(shù)列通項an用積分求數(shù)列前n項和Sn的基本做法，并給出了一些簡單數(shù)列通項所對應的特征函數(shù).

【關(guān)鍵詞】微積分；數(shù)列；通項與和；特征函數(shù)

2001年北京春季高考數(shù)學試題中曾考了一道數(shù)列題，原題如下：根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預測某種家用商品從年初開始的n個月內(nèi)累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足Sn=n90(21n-n2-5)(n=1，2，…，12).按此預測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是（）.

A.5月、6月

B.6月、7月

C.7月、8月

D.8月、9月

此題看似頗難，其實解題思路并不復雜，只要利用公式an=Sn-Sn-1求出an，再解不等式an>1.5即可.但在求an時運算量較大且易出錯，那有沒有其他的好方法呢？聯(lián)想到公司銷售部門常用的條形圖（如圖，為方便后面的說明，改畫成了直方圖），圖中每個矩形的面積（也可以看成高）表示相應月份的需求量an，所有矩形的面積和表示n個月內(nèi)累積的需求量Sn.如果去掉圖中各個矩形左上方的直角三角形，剩余部分面積也可以用積分來求.不妨設(shè)an=f(n)=n，則Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=1+2+…+n=(n+1)n2=12n2+12n，而∫n0xdx=12n2，Sn-∫n0xdx=12n=∫n012dx，于是有Sn=∫n0x+12dx=12n2+12n，這里不妨把x+12作為數(shù)列{an}(通項為an=n)用積分求和時的特征函數(shù)，其中把12作為一次修正值.

一般地，若an=kn+b，則用積分求數(shù)列{an}的前n項和時，可用kn+12+b作為特征函數(shù)，即

Sn=∫n0kx+12+bdx.

那么，對于通項公式為二次多項式的數(shù)列{an}，又如何用積分的方法求其前n項和呢？不妨設(shè)an=f(n)=n2，則Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=12+22+…+n2=16n(n+1)(2n+1)=13n3+12n2+16n=∫n0x2+x+16dx=∫n0x+122-112dx，而∫n0x2dx=13n3，這里不妨把x+122-112作為數(shù)列{an}(通項為an=n2)用積分求和時的特征函數(shù)，其中把12作為一次修正值，把-112作為二次修正值.

一般地，若an=an2+bn+c，則用積分求數(shù)列{an}的前n項和時，可用ax+122-112+bx+12n+c作為特征函數(shù)，即Sn=∫n0ax+122-112+bx+12+cdx，或者Sn=∫n0ax2+x+16+bx+12+cdx.

用類比推理的方法不難得出如下結(jié)論：

①∑nk=1k=12n2+12n=∫n0x+12dx.

②∑nk=1k2=13n3+12n2+16n=∫n0x2+x+16dx=∫n0x+122-112dx.

③∑nk=1k3=14n4+12n3+14n2=∫n0x3+32x2+12xdx=∫n0x+123-14x+12dx.

④∑nk=1k4=15n5+12n4+310n3=∫n0x4+2x3+910x2dx.

……

檢驗發(fā)現(xiàn)，上述①式、②式、③式成立，但④式不成立.通過探究分析，不難得出如下規(guī)律：當i=1，2，3時，

∑nk=1ki=1i+1ni+1+12ni+12-1i+1ni-1=∫n0xi+i2xi-1+12-1i+1(i-1)xi-2dx.

對于通項公式為多項式的數(shù)列求和，運用上述公式將非常方便快捷.下面舉例說明：

例1 已知數(shù)列{an}中，an=n2+n+1，求其前n項和Sn.

解 取x2+x+16+x+12+1為積分求和時的特征函數(shù)，則

Sn=∫n0x2+x+16+x+12+1dx

=∫n0x2+2x+53dx

=13x3+x2+53xn0

=13n3+n2+53n.

傳統(tǒng)方法：

Sn=(12+1+1)+(22+2+2)+…+(n2+n+1)

=(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)+(1+1+…+1)

=16n(n+1)(2n+1)+(n+1)n2+n

=13n3+n2+53n.

例2 已知數(shù)列{an}中，an=n3+n2+n+1，求其前n項和Sn.

解 取x3+32x2+12x+x2+x+16+x+12+1為積分求和時的特征函數(shù)，則

Sn=∫n0x3+32x2+12x+x2+x+16+x+12+1dx

=∫n0x3+52x2+52x+53dx

=14x4+56x3+54x2+53xn0

=14n4+56n3+54n2+53n.

傳統(tǒng)方法：

Sn=(13+12+1+1)+(23+22+2+2)+…+ (n3+n2+n+1)

=(13+23+…+n3)+(12+22+…+n2)+ (1+2+…+n)+(1+1+…+1)

=(n+1)n22+16n(n+1)(2n+1)+(n+1)n2+n

=14n4+56n3+54n2+53n.

從以上兩例可以看出，只要掌握了相應數(shù)列通項的特征函數(shù)，運用積分法求數(shù)列前n項和Sn比套用公式要簡單得多.

牛頓曾完整地提出微分和積分是一對逆運算，并且指出了換算的公式，即我們今天所稱的牛頓—萊布尼茲公式.既然微分和積分是互逆運算，那我們完全可以對數(shù)列{an}的前n項和Sn求微分，得到相應數(shù)列通項公式的特征函數(shù)，再還原出相應的數(shù)列的通項公式.這樣就可以根據(jù)數(shù)列前n項和Sn用微分的方法得出其通項公式an，從而解決與數(shù)列通項相關(guān)的問題.下面舉例說明：

例3 根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預測某種家用商品從年初開始的n個月內(nèi)累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足Sn=n90(21n-n2-5)(n=1，2，…，12).按此預測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是（）.

A.5月、6月

B.6月、7月

C.7月、8月

D.8月、9月

分析 此題的關(guān)鍵是求出第n個月的需求量an，再解不等式an>1.5即可.

解 對Sn=n90(21n-n2-5)微分可得特征函數(shù).

Sn=-190x3+2190x2-118x

=-130x2+715x-118

=-130x2+x+16+12x+12-310.

經(jīng)還原可得數(shù)列的通項公式an=-130n2+12n-310.

由an>1.5，即-130n2+12n-310>1.5，

得n2-15n+54<0，解得6

∵n∈N*，∴n=7，8.故選C.

微積分從大學數(shù)學下放到中學數(shù)學以后，與中學數(shù)學中的函數(shù)及解析幾何的交會運用，在求函數(shù)極值與切線及單調(diào)區(qū)間、方程根的討論、研究函數(shù)的性態(tài)與作圖以及解決實際問題等方面，不僅可使解法簡便，而且能使問題的研究更為深入、全面.那微積分和中學數(shù)學中的其他知識能否交會并能起到以簡馭繁的作用呢？比如說，微積分和數(shù)列知識能否交會并簡化問題的解決呢？以上是筆者對用微積分解決有關(guān)數(shù)列通項an與前n項和Sn問題的一個嘗試，僅是個人不成熟的想法，希望能得到大家的指點，權(quán)當是拋磚引玉了.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文