有關分段函數的問題

如果一個函數在定義域的不同子集中因對應關系不同而用幾個不同的式子來表示，這樣的函數叫做分段函數.有關分段函數的問題在近幾年的高考中屢屢出現，下面就分段函數的各個問題給予闡述.

一、分段函數的值域問題

分段函數的值域就是各段函數值取值范圍的并集.

例1 函數f(x)=x2-x+1，x<1，1x，x≥1的值域是.

解 當x<1時，f(x)=x2-x+1=x-122+34≥34；

當x≥1時，0

綜上所述，可得值域為（0，+∞）.

其圖像為

二、分段函數的求值問題

分段函數求值時要注意每一段中的自變量x的取值范圍.

例2 （2010年陜西卷）已知函數f(x)=2x+1，x<1，x2+ax，x≥1，若f(f(0))=4a，則實數a等于().

A.12

B.45

C.2

D.9

解 ∵f（0）=20+1=2，

∴f(f(0))=f（2）=22+2a=4+2a.

由f(f(0))=4a，得4+2a=4a，∴a=2.故選C.

三、分段函數的不等式問題

分段函數的不等式問題要充分利用分段函數的單調性.

例3 （2010年江蘇卷）已知函數f（x）=x2+1，x≥0，1，x<0，則滿足不等式f(1-x2)＞f(2x)的x的取值范圍是.

解 函數圖像如圖所示.

由f(1-x2)＞f(2x)，可得

1-x2＞2x≥0或1-x2＞0＞2x.

解得0≤x<2-1或-1

即不等式f(1-x2)＞f(2x)的解集為(-1，2-1).

四、分段函數的反函數問題

分段函數的反函數問題要注意求出的反函數在每一段中自變量的取值范圍就是原函數在該段中函數值的取值范圍.

例4 求函數f(x)=x2-1，0

解 當x∈(0，1］時，由y=x2-1，得x=y+1.

又 0

當x∈［-1，0）時，由y=x2，得x=-y.

又 0

故f-1(x)=-x，0

五、分段函數的奇偶性問題

分段函數的奇偶性問題要注意在每一段上都必須驗證奇偶性的條件.

例5 判斷函數f(x)=x2+x，x<0，x2-x，x>0的奇偶性.

解 函數的定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，關于原點對稱.

當x<0時，-x＞0，則

f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);

當x＞0時，-x<0，則

f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).

綜上所述，f(-x)=f(x)，∴f(x)為偶函數.

六、分段函數的單調性問題

分段函數的單調性問題一定要注意分界點.

例6 已知函數f(x)=(3a-1)x+4a，x<1，logax，x≥1是R上的減函數，則實數a的取值范圍是.

解 由已知，可得3a-1<0，0

解得17≤a<13.

七、分段函數的連續性問題

分段函數的連續性問題主要是在分界點處的連續.

例7 （2009年四川卷）已知函數f(x)=a+log2x，x≥2，x2-4x-2，x<2在點x=2處連續，則常數a的值是().

A.2

B.3

C.4

D.5

解 由題意，得limx→2f(x)=limx→2f(x)，

∴limx→2x2-4x-2=a+log22.

即4=a+1.∴a=3.故選B.

八、分段函數的零點個數問題

分段函數零點個數問題主要是求出每一段的零點個數.

例8 （2010年福建卷）函數f(x)=x2+2x-3，x≤0，-2+lnx，x>0的零點個數為().

A.0

B.1

C.2

D.3

解 令f(x)=0，則

當x≤0時，x2+2x-3=0，得x=-3或x=1(舍去)；

當x＞0時，-2+lnx=0，得x=e2.

綜上所述，函數f(x)有兩個零點.

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