利用凸函數(shù)性質巧證積分不等式

【摘要】凸函數(shù)的應用領域非常廣泛，特別是在不等式的證明中，運用它解題顯得巧妙、簡練.

【關鍵詞】凸函數(shù)；不等式；積分

凸函數(shù)是一個傳統(tǒng)研究課題，它往往與不等式聯(lián)系起來，對凸函數(shù)不等式的探討是一個重要的研究方向，具有廣泛的實際背景和應用價值.本文主要研究凸函數(shù)在積分不等式解題中的應用.

1.預備知識

定義 對x1，x2∈［a，b］，λ∈(0，1)，函數(shù)f(x)都有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).(1)

則稱f(x)為凸函數(shù)，并且僅當x1=x2時等號成立.

若(1)式的不等號反向時，則稱為凹函數(shù).

引理1 設f(x)在［a，b］上的二階可導函數(shù)，如果有f″(x)≥0，那么f(x)是［a，b］上的凸函數(shù).

引理2 （泰勒公式）設f(x)在含有x0的某個區(qū)間(a，b)內具有直到(n+1)階導數(shù)，則對x∈(a，b)，都有

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n!(x-x0)n+Rn(x).

其中，Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x-x0)n+1，ξ是介于x0和x之間的某個值.

2.主要結果和應用

定理 ［a，b］上的二階可導函數(shù)，如果有f″(x)≥0，那么

∑nk=1λkf(xk)≥f(∑nk=1λkxk).(2)

其中λk是正數(shù)，k=1，2，3，…，n，且∑nk=1λk=1.

證明 記x0=∑nk=1λkxk，那么由引理2（泰勒公式），

可得f(xk)-f(x0)=(xk-x0)f′(x0)+(xk-x0)22!f″(ξk)+….

其中ξk是在xk和x0之間的一個常數(shù).由題設f″(x)≥0，于是

∑nk=1λkf(xk)≥f(∑nk=1λkxk)+∑nk=1λk(xk-x0)f′(x0)≥f(∑nk=1λkxk).

證畢.

特別地，可以得到以下推論.

推論 設函數(shù)f(x)在［a，b］上連續(xù)，在(a，b)內二階可導，如果有f″(x)≥0，g(x)是區(qū)間［c，d］上的可積函數(shù)，a≤g(x)≤b，那么有

f1d-c∫dcg(x)dx≤1d-c∫dcf(g(x))dx.(3)

例1 設g(x)是區(qū)間［0，1］上的可積函數(shù)，0≤g(x)≤1，求證：

∫10g(x)1-g(x)dx≥∫10g(x)dx1-∫10g(x)dx.(4)

證明 設f(x)=11-x，那么f″(x)=1(1-x)3≥0，這里區(qū)間［a，b］=［c，d］=［0，1］，于是利用前面的(3)式可以得到f(∫10g(x)dx)≤∫10f(g(x))dx，將f(x)=11-x代入表達式中，即得(4)式.證畢.

例2 設g″(x)<0，證明：

∫10g(xn)dx≤g1n.(5)

證明 由g″(x)<0，知-g(x)是一個凸函數(shù).而xn是一個正值函數(shù)且滿足0≤xn≤1，于是由(4)式的結果可知

-g(∫10xndx))≤-∫10g(xn)dx.

化簡，得∫10g(xn)dx≤g(∫10xndx)=g1n.

證畢.

通過以上例題可以看出，利用凸函數(shù)的性質證明有關積分不等式，可以使難度較大且證明過程復雜的問題轉化成證明比較容易，證明過程簡單的問題，關鍵是尋找合適的凸函數(shù).

【參考文獻】

［1］M.A.克拉斯諾西爾斯基，R.B.魯季斯基.凸函數(shù)和奧爾里奇空間［M］.北京:科學出版社，1962.

［2］同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學:第三版(上冊)［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［3］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊)［M］.北京:高等教育出版社，1998.

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