將示錯進行到底

在多年的教學實踐中，筆者發現高中學生在數學學習中，往往表現出對基礎知識不求甚解；不善于對自己的解題結果進行檢驗；不會分析、評價和判斷自己思考方法的優劣；也不善于甚至不愿意找出和糾正自己的錯誤，從而導致做錯的題一錯再錯.“差錯人皆有之”，引導學生在錯誤中學習，在錯誤中提高，將學生錯誤引向正確軌道是高中數學教師義不容辭的職責.

所謂的“示錯教學”就是教師在教學中，恰到好處地、有意地把估計學生易錯的做法自然展示給學生，以引起學生的注意，通過師生共同分析錯因，加以糾錯，達到及時警示、有效預防和避免重犯的教學效果，同時也有助于培養學生認真細心學習的品質，促進教學質量的有效提高.

勤于探究學生錯誤，運用示錯教學，是高中數學教師改變教學方式、提高課堂教學效率的一個十分有效的環節.下面，就筆者在數學教學中運用示錯教學，列舉一些嘗試，談一些粗淺體會.

一、創設情境，激發識錯意識

學生的學習過程是由未知到已知、從片面到完整、從膚淺到深刻的過程，因而常會出現各式各樣不成熟的思考和錯誤的解法.而學生的思源于疑，疑源于錯，教師就要善于創設出錯情境，抓住示錯的時機，啟迪學生思維，激起學生強烈的識錯的欲望和動力.在錯誤中尋找疑點，在誤中思，在思中悟，這樣“欲擒故縱”的手法不僅能激發學生積極思維，還能培養學生思維的批判性和警覺性，防止重蹈覆轍.

案例1 在學習橢圓焦點三角形時曾有意出過一題：

P是橢圓x25+y24=1上一點，F1和F2分別是左、右焦點，若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面積.

展示解法1 令|PF1|=t1，|PF2|=t2，設∠F1PF2=θ.

利用余弦定理得到cosθ=2b2t1t2-1，

數據代入后得到t1t2=163，

可得S△F1PF2=433.

展示解法2 設P(x，y)，則

|PF1|=(x+1)2+y2=(x+1)2+4-4x25

=x25+2x+5=x5+52=

x5+5.

同理|PF2|=5-x5.

利用余弦定理：F1F22=PF21+PF22-2PF1#8226;PF2cos60°，

代入相關數據，可以得到x2=-53，知無實數解.

這是一道傳統題型，容易出現兩種錯解：大多數同學包括老師采用解法1，看似一帆風順，沒有發現題目出錯；但是少數同學想利用最基礎的方法即求出P點的縱坐標，然后再去解答，于是采用解法2，發現解不下去了，才知道橢圓上不存在這樣的點.這樣一來就激發了所有學生急于知道問題產生的原因，于是，順其自然就可產生對于∠F1PF2的研究，從而得到cosθ=2b2t1t2-1，由于t1+t2=2a，所以cosθ≥2b2a2-1，可知題目本身出錯了，在這樣的識錯過程中學生更深刻記住了焦點三角形的常用性質.

二、展示錯解，營造辯錯氛圍

教育心理學告訴我們，無論教師如何從正面防范，學生在知識的學習和運用中，總會出現這樣那樣的錯誤，這是學習中的正常現象.因此，在習題教學中，筆者就利用實物投影將同學的錯誤情況一一展示出來，全班學生一起尋找錯誤，分析錯因.這樣，不僅促使學生積極參與課堂教學，讓每名同學的思維和注意力高度集中達到最佳狀態，而且讓錯者本人有了深刻體會，其他同學在幫助別人的同時對自己又有了新的審視.這樣的錯題展示活動，可以促使學生正本清源，提高對錯誤的免疫力，優化思維品質.

案例2 在高三一輪復習“數列的最值”時，給出一題：

已知數列an=n2+λn，(n∈N)，且滿足a1

給出題目后，學生馬上動筆就寫，結果出現兩種不同解題答案，投影一出來，學生馬上議論紛紛，各執一詞，誰也不承認自己錯了.

解1 （方法：利用二次函數對稱軸與單調區間的關系，求出參數λ的取值范圍.）

研究函數f(x)=x2+λx(x≥1)的對稱軸x=-λ2，要使數列an滿足題意，則只需-λ2≤1，即λ≥-2.

解2 （方法：利用數列單調性概念，求出參數λ的取值范圍.）

an+1-an=2n+1+λ(*)，根據題意，說明(*)>0恒成立，得到λ>-3.

看似都合情合理的兩種解法，為什么會出現結果不一樣呢？教師利用學生存在的認知沖突，及時引導學生在比較、辨析中，發現解1錯誤的根源——數列是特殊的函數，它的定義域是正整數，所以數列的圖像是點列，并不是函數中的光滑曲線，利用函數圖像解決的話，應該是-λ2<32，從而發現錯誤的本質.在互相辯錯的氛圍中，不僅了解了錯誤原因，也學習了正確解法.

三、變式訓練，提升糾錯能力

示錯講評與變式訓練相結合，也是將示錯進行到底的又一種形式.對于一些典型的、容易錯的習題，教師可抓住學生的易錯點，運用變式教學，恰當地變化，進行遷移、加深、拓寬和創新，引導學生自己發現錯誤，糾正錯誤，并在舉一反三、活學活用中，突出不變的本質.

案例3 在高三第一輪復習二次函數時給出一題：

不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對一切x∈R恒成立，求實數a的取值范圍.

易錯點：學生往往會漏考慮二次項系數為零的情況.

變式一 方程(a-2)x2+2(a-2)x-4=0(a∈R)無實數解，求實數a的取值范圍.

變式二 函數f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4(a∈R)，若x∈［1，3］，f(x)<0恒成立，求實數a的取值范圍.

變式三 函數f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4(a∈R)，若x∈(1，3)，f(x)<0有解，求實數a的取值范圍.

變式四 函數f(x)=(a-2)x2+2ax-1(a∈R)，若x∈(1，3)，f(x)<4x+3有解，求實數a的取值范圍.

變式五 直線y=ax-1和雙曲線x2-2y2=1只有一個公共點，求實數a的值.

幾個看似內容各異的題型，但在變式比較深入的過程中，就會產生共鳴，發現共同的解題關鍵.設計中已經孕育著問題發展、解決的思維過程，是一種無言的提示，讓學生知道了解此類題目的通性通法，更加深刻地記住此類題目的易錯點.

四、歸納總結，積累防錯經驗

在平時的數學教學中，常會看到學生在解題中重復犯一些共性的“概念錯誤”，明明在新課和練習中已經強調和訂正，但過段時間錯誤依舊重復出現.究其原因主要是學生在解題中往往單純關注正面的解題方法，而忽略解題背后數學概念的運用，往往對所用數學概念的常見出錯可能性不熟悉、無意識和不主動設防.因此，教師應常在章節學習后，引導學生主動歸納總結，積累防范錯誤的經驗，增強學生有效解題的成就感.

案例4 在學習等比數列后，引導學生歸納出等比數列學習中的易錯點.

易錯點1 等比數列的公比和項不能為零.

易錯題1 若a，b，c是實數，則b2=ac是a，b，c成等比數列的條件.

易錯題2 已知數列{an}的前n項和為Sn=1+kan(k≠1)，判斷數列{an}是否是等比數列.

易錯點2 等比數列求和容易忽略對公比的討論.

易錯題3 已知a≠0，計算：1+a+a2+a3+…+an=.

易錯點3 已知數列Sn求an，容易忽略等比性質開始的初始項.

易錯題4 已知數列{an}的前n項和Sn=2n-2，則數列{an}的通項an=.

易錯題5 數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，an+1=13Sn，(n∈N*)，求數列{an}的通項公式.

通過歸納整理，讓學生對一個知識內容有一個事先的儲備，有助于學生帶著一定的識錯眼光和防錯能力去正確解題.

總之，教師在教學中企圖完全避免學生錯誤是沒有必要的.相反，在某些情況下需要有意識地讓學生專門進行示錯活動，這樣可收到一石二鳥的效果：一方面可充分暴露學生思維的薄弱環節，有利于對癥下藥；另一方面能使學生透徹地、突破性地認識到錯誤所在，有利于自診自治.數學教學就要勤于發現學生中的錯誤，敢于展示學生不同的錯誤認識，善于巧妙合理地處理錯誤.在錯誤的發現、探究、展示、辨析的過程體驗中，引領學生走出固有認知的“迷宮”，體驗數學學習給人帶來的成功愉悅感.

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