多種數(shù)學(xué)思想在一道高考題中的應(yīng)用

“范圍”問題是高中數(shù)學(xué)常見的題型，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，1999年全國高考卷的第17題具有典型的示范性.這是一道陳年“舊”題，但其探求過程卻蘊(yùn)藏著多種數(shù)學(xué)思想，這些數(shù)學(xué)思想方法的掌握，不僅有助于解決相關(guān)類型問題，而且也有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文就這道高考題的解法進(jìn)行探究并說明數(shù)學(xué)思想在其中的應(yīng)用，旨在開啟學(xué)生的理性思維，拓寬思路，提升解題能力.

題目 若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是.

一、應(yīng)用化歸轉(zhuǎn)化思想

解法1 ∵a>0，b>0，

∴a+b≥2ab，∴ab=a+b+3≥2ab+3，

即ab-2ab-3≥0，

解得ab≥3或ab≤-1(不合舍去).

∴ab≥9，故ab的取值范圍為［9，+∞).

解法2 ∵a2+b2≥2ab，∴(a+b)2≥4ab.

又 ab=a+b+3，∴(a+b)2≥4(a+b+3)，

即(a+b+2)(a+b-6)≥0.

∵a>0，b>0，∴a+b+2>0，∴a+b≥6，∴ab≥9.

解法3 ∵a>0，b>0，ab=a+b+3，

∴1=1b+1a+3ab≥333a2b2，

即a2b2≥81.∵ab>0，∴ab≥9.

評(píng)析 轉(zhuǎn)化與化歸思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法，每一個(gè)數(shù)學(xué)問題的獲解，無不是在不斷地轉(zhuǎn)化之中.解決“范圍”問題關(guān)鍵在于尋找出所求變量的不等關(guān)系，本題通過重要不等式或均值不等式很容易就可把已知條件的等量關(guān)系加以轉(zhuǎn)化，從而順利找到解決問題的突破口.化難為易、化生為熟、化繁為簡(jiǎn)、化大為小、各個(gè)擊破是此種思想方法應(yīng)用的精髓.

二、應(yīng)用函數(shù)思想

解法4 由已知，得a(b-1)=b+3.

∵a>0，b>0，∴b-1>0，∴a=b+3b-1.

∴ab=b2+3bb-1=b-1+4b-1+5≥24+5=9(當(dāng)且僅當(dāng)b-1=4b-1，即b=3時(shí)，等號(hào)成立)，即ab≥9.

評(píng)析 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干，其思想的應(yīng)用是解決問題重要的思維方式.運(yùn)用函數(shù)思想解題，重在對(duì)問題中變量的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究，從變量的運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系和發(fā)展角度打開思路.本題從函數(shù)觀點(diǎn)出發(fā)，將條件變形后消元，構(gòu)建了關(guān)于變量b的函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域，解決問題的目的也就水到渠成了.

三、應(yīng)用方程思想

解法5 ∵ab=a+b+3，∴a+b=ab-3.

又 a>0，b>0，

∴a，b是方程x2+(ab-3)x+ab=0的兩個(gè)正根.

∴Δ=(3-ab)2-4ab≥0，a+b=ab-3>0，ab>0ab≥9或ab≤1，ab>3，ab>0，

解得ab≥9.

評(píng)析 方程與函數(shù)是兩個(gè)密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，它們之間相互滲透，辯證統(tǒng)一，方程思想則重在分析和研究問題中變量的等量關(guān)系.題中條件的和、積特征十分明顯，由韋達(dá)定理便可構(gòu)建出一個(gè)二次方程模型，從而應(yīng)用二次方程實(shí)根的分布條件使問題獲解.

四、應(yīng)用變量代換思想

解法6 ∵ab=a+b+3，

∴(a-1)(b-1)=4=22，

∴a-1，2，b-1成等比數(shù)列.

設(shè)a-1=2q，b-1=2q，則a=2q+1，b=2q+1.

∵a>0，b>0，∴2q+1>0，2q+1>0，解得q>0.

∴ab=2q+1(2q+1)=5+21q+q≥9，

∴ab∈［9，+∞).

解法7 ∵ab=a+b+3，∴(a-1)(b-1)4=1.

設(shè)a-1=2tanα，b-1=2cotα，

則a=2tanα+1，b=2cotα+1.

由法4，得b-1>0.

∴a-1>0，∴tanα>0，cotα>0，

∴ab=(2tanα+1)(2cotα+1)=5+2(tanα+cotα)≥9，

∴ab∈［9，+∞).

評(píng)析 變量代換主要有兩種方式:代數(shù)代換和三角代換.根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行合理代換，可使變量間的關(guān)系更加清楚，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，但新的變量要確保原來的變量的范圍不發(fā)生任何的變化.本題將條件變形，類比等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)和三角函數(shù)tanα，cotα的關(guān)系進(jìn)行變量代換，思路隨之顯現(xiàn).

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中.在解決問題的過程中，若能對(duì)數(shù)學(xué)思想進(jìn)行挖掘、提煉和滲透，熟練用數(shù)學(xué)思想來指導(dǎo)解題，不僅可以有效地駕馭數(shù)學(xué)知識(shí)于應(yīng)用之中，而且對(duì)開發(fā)智力、培養(yǎng)能力和優(yōu)化思維都有著極其重要的意義.

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